空间向量与立体几何
一、空间向量的基本概念
空间向量就是具有大小和方向的量，可以在三维空间中自由平移。
坐标表示：
a = (x, y, z) 表示从原点O到点P(x, y, z)的向量
| 运算 | 公式 |
|---|---|
| 加法 | a+b = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂) |
| 减法 | a-b = (x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂) |
| 数乘 | λa = (λx, λy, λz) |
| 模长 |
二、向量的数量积（点乘）
定义： a·b = |a|·|b|·cosθ 坐标： a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
应用： - 判断垂直：a·b = 0 ⇔ a⊥b - 求夹角：cosθ = (a·b)/(|a|·|b|) - 求投影：|b|cosθ = (a·b)/|a|
三、向量的向量积（叉乘）
定义： c = a×b，c垂直于a和b，方向遵循右手定则
坐标公式：
a×b = (y₁z₂-z₁y₂, z₁x₂-x₁z₂, x₁y₂-y₁x₂)
应用： - 求法向量 - 求平行四边形面积：S = |a×b| - 求平行六面体体积：V = |(a×b)·c|
四、向量法解立体几何
1. 求异面直线夹角：
cosθ = |a·b|/(|a|·|b|) a、b分别是两条直线的方向向量
2. 求线面角：
sinθ = |a·n|/(|a|·|n|) a是直线方向向量，n是平面法向量
3. 求二面角：
cosθ = |n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|) n₁、n₂是两个平面的法向量
4. 求点到平面距离：
d = |AP·n|/|n| A是平面外一点，P是平面上一点，n是法向量
五、解题步骤
- 建系：建立空间直角坐标系
- 找点：写出关键点的坐标
- 求向量：写出所需的方向向量或法向量
- 计算：代入公式求解