高二数学——数列的通项公式与求和

一、引言

数列是高中数学的重要内容，也是高考的必考题型。在数列问题中，求通项公式和求和是最核心的两个能力。无论是等差数列、等比数列的基础题型，还是裂项相消、错位相减等进阶方法，都需要系统掌握。

本文将带你系统地学习： 1. 等差数列与等比数列的通项公式及性质 2. 裂项相消法求和的技巧 3. 错位相减法求和的步骤 4. 各类题型的实战应用

二、等差数列通项公式

2.1 定义与通项

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做公差，通常用字母 $$d$$ 表示。

通项公式：

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

其中 $$a_1$$ 为首项，$$d$$ 为公差。

推导过程：

由定义：$$a_2 - a_1 = d$$ $$a_3 - a_2 = d$$ $$\cdots$$ $$a_n - a_{n-1} = d$$

把以上 $$n-1$$ 个等式相加，得：

$$a_n - a_1 = (n-1)d$$

所以 $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

2.2 重要性质

2.3 前n项和公式

$$S_n = rac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + rac{n(n-1)}{2}d$$

2.4 经典例题

例题1：已知等差数列 $${a_n}$$ 中，$$a_5 = 15$$，$$a_9 = 27$$，求通项公式 $$a_n$$。

解：由通项公式 $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

$$ egin{cases} a_5 = a_1 + 4d = 15 \ a_9 = a_1 + 8d = 27 \end{cases} $$

两式相减得：$$4d = 12$$，所以 $$d = 3$$

代入得：$$a_1 + 12 = 15$$，所以 $$a_1 = 3$$

因此：$$a_n = 3 + (n-1) imes 3 = 3n$$

例题2：在等差数列 $${a_n}$$ 中，$$a_1 + a_4 + a_7 = 45$$，求 $$a_4$$。

解：由下标和性质，$$a_1 + a_7 = 2a_4$$

所以：$$a_1 + a_4 + a_7 = 2a_4 + a_4 = 3a_4 = 45$$

解得：$$a_4 = 15$$

三、等比数列通项公式

3.1 定义与通项

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比，通常用字母 $$q$$ 表示（$$q eq 0$$）。

通项公式：

$$a_n = a_1 q^{n-1}$$

其中 $$a_1$$ 为首项，$$q$$ 为公比。

3.2 重要性质

3.3 前n项和公式

当 $$q = 1$$ 时：$$S_n = na_1$$

当 $$q eq 1$$ 时：

$$S_n = rac{a_1(1-q^n)}{1-q} = rac{a_1 - a_n q}{1-q}$$

3.4 经典例题

例题3：等比数列 $${a_n}$$ 中，$$a_2 = 4$$，$$a_5 = 32$$，求通项公式 $$a_n$$。

解：由通项公式：

$$ a_2 = a_1 q = 4 \ a_5 = a_1 q^4 = 32 $$

两式相除：$$rac{a_1 q^4}{a_1 q} = rac{32}{4}$$，即 $$q^3 = 8$$

所以 $$q = 2$$，代入得 $$a_1 = 2$$

因此：$$a_n = 2 imes 2^{n-1} = 2^n$$

四、裂项相消法求和

4.1 方法原理

裂项相消法是将数列中的每一项拆分成两项之差的形式，使得相邻项的部分可以相互抵消，从而简化求和过程。

核心思想：

$$a_n = f(n) - f(n-1) \quad \Rightarrow \quad S_n = f(n) - f(0)$$

4.2 常见裂项公式

4.3 例题精讲

例题4：求数列 $$rac{1}{1 imes 2} + rac{1}{2 imes 3} + rac{1}{3 imes 4} + \cdots + rac{1}{n(n+1)}$$ 的前n项和。

解：由裂项公式 $$rac{1}{n(n+1)} = rac{1}{n} - rac{1}{n+1}$$

$$ egin{aligned} S_n &= (1 - rac{1}{2}) + (rac{1}{2} - rac{1}{3}) + (rac{1}{3} - rac{1}{4}) + \cdots + (rac{1}{n} - rac{1}{n+1}) \ &= 1 - rac{1}{n+1} \ &= rac{n}{n+1} \end{aligned} $$

例题5：求数列 $$rac{1}{1 imes 4} + rac{1}{4 imes 7} + rac{1}{7 imes 10} + \cdots + rac{1}{(3n-2)(3n+1)}$$ 的前n项和。

解：由裂项公式 $$rac{1}{(3n-2)(3n+1)} = rac{1}{3}(rac{1}{3n-2} - rac{1}{3n+1})$$

$$ egin{aligned} S_n &= rac{1}{3}[(1 - rac{1}{4}) + (rac{1}{4} - rac{1}{7}) + (rac{1}{7} - rac{1}{10}) + \cdots + (rac{1}{3n-2} - rac{1}{3n+1})] \ &= rac{1}{3}(1 - rac{1}{3n+1}) \ &= rac{n}{3n+1} \end{aligned} $$

五、错位相减法求和

5.1 方法原理

错位相减法适用于通项为等差数列与等比数列乘积形式的数列求和，即通项形式为：

$$a_n = (kn + b) \cdot q^n$$

基本步骤：

5.2 例题精讲

例题6：求数列 $$1 imes 2 + 2 imes 2^2 + 3 imes 2^3 + \cdots + n imes 2^n$$ 的前n项和。

解：设 $$S_n = 1 imes 2^1 + 2 imes 2^2 + 3 imes 2^3 + \cdots + n imes 2^n$$

两边乘以公比 $$q = 2$$：

$$2S_n = 1 imes 2^2 + 2 imes 2^3 + 3 imes 2^4 + \cdots + n imes 2^{n+1}$$

错位相减：

$$ egin{aligned} S_n - 2S_n &= 1 imes 2^1 + (2-1) imes 2^2 + (3-2) imes 2^3 + \cdots + (n-(n-1)) imes 2^n - n imes 2^{n+1} \ -S_n &= 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n imes 2^{n+1} \ -S_n &= rac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n imes 2^{n+1} \ -S_n &= 2^{n+1} - 2 - n imes 2^{n+1} \ S_n &= (n-1) imes 2^{n+1} + 2 \end{aligned} $$

5.3 方法对比

六、趣味练习

练习1：快速判断

判断以下数列求和的适用方法：

1. $$S_n = rac{1}{1 imes 3} + rac{1}{2 imes 4} + rac{1}{3 imes 5} + \cdots + rac{1}{n(n+2)}$$ 适用方法：______

2. $$S_n = 1 imes rac{1}{2} + 2 imes rac{1}{4} + 3 imes rac{1}{8} + \cdots + rac{n}{2^n}$$ 适用方法：______

3. $$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$$ 适用方法：______

练习2：找规律

已知数列 $${a_n}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，且 $$a_{n+1} = 2a_n + 1$$，求通项公式。

提示：构造法——将原式改写为 $$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$$

练习3：速算挑战

不用纸笔，计算下列各式的值：

1. $$rac{1}{1 imes 2} + rac{1}{2 imes 3} + rac{1}{3 imes 4} + \cdots + rac{1}{99 imes 100} = ?$$

2. 已知等比数列首项为2，公比为3，求前4项和。

七、课后作业

基础题

1. 等差数列 $${a_n}$$ 中，$$a_1 = 2$$，$$a_3 = 8$$，求 $$a_{10}$$。

2. 等比数列 $${a_n}$$ 中，$$a_1 = 3$$，$$a_4 = 24$$，求公比 $$q$$ 和 $$S_5$$。

3. 求数列 $$rac{1}{2 imes 4} + rac{1}{4 imes 6} + rac{1}{6 imes 8} + \cdots + rac{1}{2n(2n+2)}$$ 的前n项和。

提高题

1. 已知数列 $${a_n}$$ 的前n项和 $$S_n = 2n^2 + 3n$$，求通项公式 $$a_n$$。

2. 求数列 $${n \cdot 3^{n-1}}$$ 的前n项和。

拓展题

1. 已知数列 $${a_n}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，$$a_{n+1} = rac{a_n}{1 + 2a_n}$$，求通项公式 $$a_n$$。

提示：取倒数构造等差数列。

1. 某公司第一年利润为100万元，从第二年起，每年利润比上一年增长20%。问：前5年总利润是多少？（结果保留到整数）

参考答案

趣味练习答案

练习1：①裂项相消法 ②错位相减法 ③公式法（或用立方和公式推导）

练习2：由 $$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$$，所以 $${a_n + 1}$$ 是以 $$a_1 + 1 = 2$$ 为首项，2为公比的等比数列。故 $$a_n + 1 = 2 imes 2^{n-1} = 2^n$$，即 $$a_n = 2^n - 1$$

练习3：① $$rac{99}{100}$$ ② $$S_4 = rac{2(3^4 - 1)}{3 - 1} = rac{2 imes 80}{2} = 80$$

课后作业答案

第1题：$$d = rac{a_3 - a_1}{2} = rac{8-2}{2} = 3$$，$$a_{10} = a_1 + 9d = 2 + 27 = 29$$

第2题：$$a_4 = a_1 q^3 = 3q^3 = 24$$，$$q^3 = 8$$，$$q = 2$$，$$S_5 = rac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = 3 imes 31 = 93$$

第3题：$$rac{1}{2n(2n+2)} = rac{1}{4}(rac{1}{n} - rac{1}{n+1})$$，$$S_n = rac{1}{4}(1 - rac{1}{n+1}) = rac{n}{4(n+1)}$$

第4题：当 $$n = 1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 5$$；当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n) - [2(n-1)^2 + 3(n-1)] = 4n + 1$$，验证 $$n=1$$ 成立，故 $$a_n = 4n + 1$$

第5题：设 $$S_n = 1 imes 3^0 + 2 imes 3^1 + 3 imes 3^2 + \cdots + n imes 3^{n-1}$$

$$3S_n = 1 imes 3^1 + 2 imes 3^2 + \cdots + (n-1) imes 3^{n-1} + n imes 3^n$$

$$S_n - 3S_n = 1 + 3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n imes 3^n$$

$$-2S_n = rac{3^n - 1}{3 - 1} - n imes 3^n = rac{3^n - 1}{2} - n imes 3^n$$

$$S_n = rac{(2n-1)3^n + 1}{4}$$

八、总结

数列的通项与求和是高中数学的核心内容，其方法体系可以概括为：

掌握这些方法的关键在于多练、多总结。建议同学们在学习过程中整理一个"方法笔记本"，每个方法配上2-3道典型例题，考前反复翻阅，定能收放自如。