小学五年级数学：长方体与正方体的表面积

一、认识长方体与正方体

1.1 长方体

长方体（cuboid）是由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。

      ┌───────┐
     /       /│
    /       / │     高(h)
   ┌───────┐  │
   │       │  │
   │       │ /
   │       │/      宽(w)
   └───────┘
       长(l)

长方体的特征： - 6个面：相对的面完全相同 - 12条棱：相对的棱长度相等 - 8个顶点

1.2 正方体

正方体（cube）是由 6个完全相同的正方形 围成的立体图形，是特殊的长方体。

      ┌───────┐
     /       /│
    /       / │
   ┌───────┐  │     棱长(a)
   │       │  │
   │       │ /
   │       │/
   └───────┘

正方体的特征： - 6个面：完全相同，都是正方形 - 12条棱：长度全部相等 - 8个顶点

二、表面积的概念

表面积 是指立体图形 所有面的面积之和。

想象一下：把一个长方体纸盒拆开，摊平——看到的平面图形的总面积，就是它的表面积。

三、长方体表面积公式

长方体有6个面，分为 三组对面：

长方体表面积公式：

[ \boxed{S = 2 \times (lw + wh + lh)} ]

读作：长×宽 + 宽×高 + 长×高，它们的和再乘以2。

四、正方体表面积公式

正方体的6个面完全相同，每个面都是 边长为a的正方形。

每个面的面积：[S_{\text{面}} = a \times a = a^2]

正方体表面积公式：

[ \boxed{S = 6a^2} ]

读作：棱长×棱长×6。

五、例题精讲

例题1：长方体的表面积

一个长方体纸箱，长8厘米，宽6厘米，高5厘米。求它的表面积。

解： [ \begin{aligned} S &= 2 \times (lw + wh + lh) \ &= 2 \times (8 \times 6 + 6 \times 5 + 8 \times 5) \ &= 2 \times (48 + 30 + 40) \ &= 2 \times 118 \ &= 236 \ (\text{cm}^2) \end{aligned} ]

答： 纸箱的表面积是236平方厘米。

例题2：正方体的表面积

一个正方体魔方的棱长是9厘米，它的表面积是多少？

解： [ \begin{aligned} S &= 6a^2 \ &= 6 \times 9^2 \ &= 6 \times 81 \ &= 486 \ (\text{cm}^2) \end{aligned} ]

答： 魔方的表面积是486平方厘米。

例题3：无盖长方体（实际生活问题）

一个长方体鱼缸，长12分米，宽8分米，高6分米。鱼缸没有盖子，做这个鱼缸需要多少平方分米的玻璃？

关键： 没有盖子 → 只有5个面（去掉上面）

[ \begin{aligned} S &= lw + 2 \times (lh + wh) \ &= 12 \times 8 + 2 \times (12 \times 6 + 8 \times 6) \ &= 96 + 2 \times (72 + 48) \ &= 96 + 2 \times 120 \ &= 96 + 240 \ &= 336 \ (\text{dm}^2) \end{aligned} ]

答： 需要336平方分米的玻璃。

六、易错点提醒

七、趣味练习

八、课后作业

⭐ 基础题

1. 长方体有几个面？几个棱？几个顶点？
2. 写出长方体表面积公式和正方体表面积公式。
3. 一个正方体的棱长是5厘米，它的表面积是多少？

⭐⭐ 提高题

1. 一个长方体饼干盒长18厘米，宽12厘米，高20厘米。在它的四周（上下面除外）贴一圈商标纸，商标纸的面积是多少平方厘米？
2. 做一个无盖的长方体铁皮水箱，长8分米，宽6分米，高4分米，至少需要多少平方分米的铁皮？

⭐⭐⭐ 挑战题

1. 把一个棱长为8厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，切开后表面积比原来增加了多少平方厘米？
2. 用4个棱长为2厘米的小正方体拼成一个长方体，有几种不同的拼法？每种拼法的表面积分别是多少？哪种拼法最节省包装纸？

💡 小技巧： 遇到表面积问题，先想「有几个面」再算！无盖→5个面，鱼缸四周→4个面，粉刷墙壁→注意减掉门窗面积。

九、长方体和正方体的展开图

9.1 长方体展开图

把长方体沿棱剪开并展开，可以得到多种不同的展开图。一个长方体有 11种不同的展开方式。

其中一种最常见的展开图：

       ┌──────┐
       │ 上面  │
┌──────┼──────┼──────┐
│ 左面  │ 前面  │ 右面  │
├──────┼──────┤      │
│ 下面  │ 后面  │      │
└──────┴──────┴──────┘

展开图中，相对的面不会相邻。也就是说，在展开图中，上面和下面一定是隔开的，左面和右面也是隔开的，前面和后面也是隔开的。

9.2 正方体展开图

正方体有 11种展开图，可以归纳为四大类：

类型一："1-4-1"型（6种） 中间4个正方形连成一排，上下各1个正方形。

    □
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    □

类型二："2-3-1"型（3种） 中间3个正方形，上面2个，下面1个。

  □□
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  □

类型三："2-2-2"型（1种） 三排，每排2个正方形。

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□□

类型四："3-3"型（1种） 两排，每排3个正方形。

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十、解决问题实战

例题4：贴墙纸问题

一间卧室长5米，宽4米，高3米。门和窗户的总面积是6平方米。如果给四壁贴上墙纸，需要多少平方米的墙纸？

解： 四壁 = 前 + 后 + 左 + 右（不需要贴天花板和地板） [ \begin{aligned} S_{\text{四壁}} &= 2 \times (l \times h + w \times h) \ &= 2 \times (5 \times 3 + 4 \times 3) \ &= 2 \times (15 + 12) \ &= 2 \times 27 \ &= 54 \ (\text{m}^2) \end{aligned} ] 减去门窗面积： [ S_{\text{墙纸}} = 54 - 6 = 48 \ (\text{m}^2) ]

答： 需要48平方米的墙纸。

例题5：包装问题

把3个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积是多少？比原来3个正方体的表面积之和减少了多少？

理解： 3个正方体拼在一起，拼一次减少2个面，3个拼需要拼2次，减少4个面。

原来3个正方体的表面积： [ S_{\text{原}} = 3 \times (6 \times 5^2) = 3 \times (6 \times 25) = 3 \times 150 = 450 \ (\text{cm}^2) ]

拼成的长方体长=15cm，宽=5cm，高=5cm： [ \begin{aligned} S_{\text{新}} &= 2 \times (15 \times 5 + 5 \times 5 + 15 \times 5) \ &= 2 \times (75 + 25 + 75) \ &= 2 \times 175 \ &= 350 \ (\text{cm}^2) \end{aligned} ]

减少的面积： [ 450 - 350 = 100 \ (\text{cm}^2) ]

答： 拼成后的长方体表面积是350平方厘米，比原来减少了100平方厘米。

例题6：抹水泥问题

一个游泳池长50米，宽25米，深2.5米。在游泳池的内壁和底部抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？

分析： 游泳池没有顶盖 → 5个面：底面+四壁

[ \begin{aligned} S_{\text{底}} &= l \times w = 50 \times 25 = 1250 \ (\text{m}^2) \ S_{\text{四壁}} &= 2 \times (l \times h + w \times h) = 2 \times (50 \times 2.5 + 25 \times 2.5) \ &= 2 \times (125 + 62.5) = 2 \times 187.5 = 375 \ (\text{m}^2) \ S_{\text{总}} &= 1250 + 375 = 1625 \ (\text{m}^2) \end{aligned} ]

答： 需要抹水泥的面积是1625平方米。

十一、表面积变化规律总结

11.1 切割问题

将一个长方体或正方体切开，表面积增加。

11.2 拼接问题

将两个或多个立体图形拼在一起，表面积减少。

11.3 挖去问题

从一个立体图形中挖掉一个小立方体，表面积变化情况较复杂：

十二、易混辨析

12.1 棱长总和 vs 表面积

很多同学容易把这两个概念搞混：

12.2 体积 vs 表面积

关键区分： 看到「需要多少纸、铁皮、玻璃、墙纸」→ 求表面积；看到「能装多少水、沙子、空气」→ 求体积或容积。

十三、课堂小测

第一关：填空题

1. 长方体有_个面，_条棱，____个顶点。
2. 正方体是特殊的____体。
3. 一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积是____平方厘米。
4. 一个长方体的长5cm、宽4cm、高3cm，表面积是____平方厘米。

第二关：判断题（对打√，错打×）

1. ( ) 长方体的6个面一定都是长方形。
2. ( ) 正方体的12条棱长度都相等。
3. ( ) 两个同样大的正方体拼成一个长方体后，表面积不变。
4. ( ) 求无盖鱼缸需要的玻璃，就是求它5个面的面积之和。

第三关：选择题

1. 下面哪一个是正方体展开图（ ） A. 1-4-1型 B. 1-5型 C. 2-4型 D. 3-3型

2. 一个正方体切成两个完全一样的长方体，表面积增加了32cm²，原来正方体的表面积是（ ） A. 64cm² B. 96cm² C. 128cm² D. 192cm²

十四、生活中的表面积应用

14.1 包装设计

工厂生产巧克力，如果把10块长8cm、宽4cm、高2cm的小巧克力包装成一个大盒，怎样摆放最省包装纸？

这涉及到表面积最小化的问题——把最大的面重叠起来，可以减少最多的表面积。

14.2 粉刷墙壁

装修房子时，需要计算墙面和天花板的面积减去门窗面积，才能知道需要买多少油漆。

14.3 制作包装盒

纸箱厂设计包装盒时，要根据产品的尺寸计算用料面积，再考虑纸板的损耗率。

14.4 礼物包装

过节送礼物时，要计算包装纸的面积。一般实际用纸量会比表面积大一些，因为要预留折叠和粘贴的部分（约多出15%~20%）。

学好表面积，不仅能考高分，还能解决生活中的实际问题！

课后作业参考答案

⭐ 基础题

1. 6个面，12条棱，8个顶点
2. 长方体：S=2(lw+wh+lh)；正方体：S=6a²
3. S=6×5²=150cm²

⭐⭐ 提高题

1. 四周面积 = 2×(18×20 + 12×20) = 2×(360+240) = 1200cm²
2. S = 8×6 + 2×(8×4+6×4) = 48 + 2×(32+24) = 48 + 112 = 160dm²

⭐⭐⭐ 挑战题

1. 切成两个长方体，增加2个正方形面：2×8²=128cm²
2. 两种拼法：①一字排开4个：S=2×(8×2+2×2+8×2)=72cm²；②拼成2×2：S=2×(4×4+4×2+4×2)=64cm²。②更节省包装纸。