排列组合与二项式定理
一、知识点讲解
1. 两个基本原理
| 原理名称 | 文字表述 | 数学公式 | 关键词 |
|---|---|---|---|
| 分类加法计数原理 | 完成一件事有n类不同方案，每类有m_i种方法，则共有N=m_1+m_2+...+m_n种方法 | ( N = \sum_{i=1}^{n} m_i ) | "分类"、"或者" |
| 分步乘法计数原理 | 完成一件事需要n个步骤，每步有m_i种方法，则共有N=m_1×m_2×...×m_n种方法 | ( N = \prod_{i=1}^{n} m_i ) | "分步"、"并且" |
2. 排列与组合
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列。
[ A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!} ]
特例： 当 m=n 时，( A_n^n = n! )
组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组（不考虑顺序），叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合。
[ C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} ]
重要性质： ( C_n^m = C_n^{n-m} )，( C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m )
3. 排列与组合的区别
| 对比项 | 排列 | 组合 |
|---|---|---|
| 是否考虑顺序 | 是（顺序不同算不同） | 否（顺序不同算相同） |
| 符号 | A_n^m | C_n^m |
| 计算公式 | ( \frac{n!}{(n-m)!} ) | ( \frac{n!}{m!(n-m)!} ) |
| 典型问题 | 排队、选班长（分工） | 选代表（不分工）、握手 |
4. 二项式定理
定理内容
[ (a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^r a^{n-r}b^r + \cdots + C_n^n b^n ]
通项公式
[ T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r \quad (r=0,1,2,\ldots,n) ]
二项式系数的性质
- 对称性： 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即 ( C_n^r = C_n^{n-r} )
- 增减性与最大值：
- 当 ( r < \frac{n+1}{2} ) 时，系数递增
- 当 ( r > \frac{n+1}{2} ) 时，系数递减
- 若 n 为偶数，中间一项系数最大：( C_n^{\frac{n}{2}} )
- 若 n 为奇数，中间两项系数相等且最大：( C_n^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}} )
- 各系数之和： ( C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n )
二、典型例题分析
例题1：排列问题
用数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？
分析： 万位数字必须为3,4,5，然后剩下的4个数字任意排列。
解： - 万位有3种选择（3,4,5） - 剩下四位：( A_4^4 = 4! = 24 ) - 总数 = 3 × 24 = 72
例题2：组合问题
从6名男生和4名女生中选出5人组成一个小组，要求至少包含2名女生，有多少种选法？
解： 方法一（分类讨论）： - 2女3男：( C_4^2 \times C_6^3 = 6 \times 20 = 120 ) - 3女2男：( C_4^3 \times C_6^2 = 4 \times 15 = 60 ) - 4女1男：( C_4^4 \times C_6^1 = 1 \times 6 = 6 ) - 总数 = 120 + 60 + 6 = 186
方法二（排除法）： - 无条件选5人：( C_{10}^5 = 252 ) - 不符合（0女或1女）：( C_4^0 \times C_6^5 + C_4^1 \times C_6^4 = 6 + 4 \times 15 = 66 ) - 总数 = 252 − 66 = 186
例题3：二项式定理
求 ( (2x - 3)^5 ) 展开式中 ( x^3 ) 的系数。
解： 通项公式：( T_{r+1} = C_5^r (2x)^{5-r} (-3)^r ) 需要 ( 5-r = 3 )，即 ( r = 2 ) [ T_3 = C_5^2 (2x)^3 (-3)^2 = 10 \times 8x^3 \times 9 = 720x^3 ] 系数为720。
三、趣味练习
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### 练习一：快速判断 判断下列问题是排列问题还是组合问题： 1. A={1,2,3,4}中任取两个元素组成集合 2. 从5个人中选2人分别担任班长和副班长 3. 平面内有10个点，无三点共线，可以确定多少条直线 4. 7本不同的书分给3个人，每人至少一本 ### 练习二：生活中的排列组合 小明的手机密码是6位数字，但他只记得： - 前两位是他出生月份（01-12） - 中间两位是他生日日期（01-31） - 后两位忘记了 请问最多需要尝试多少次才能打开手机？ ### 练习三：二项式系数规律 观察杨辉三角（二项式系数表）： 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1