基本不等式及其应用
一、基本不等式
对于任意正实数 \(a, b\)，有：
[\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}]
当且仅当 \(a = b\) 时等号成立。
几何解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的证明
方法一：作差法
[\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0]
当且仅当 \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\)，即 \(a = b\) 时取等。
方法二：综合法
由 \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0\) 展开得：\(a + b - 2\sqrt{ab} \ge 0\)，移项即得。
三、基本不等式的常用变形
| 形式 | 表达式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 和积形式 | \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\) | 已知积求和的取值范围 |
| 积和形式 | \(ab \le (\frac{a+b}{2})^2\) | 已知和求积的最大值 |
| 倒数形式 | \(a + \frac{1}{a} \ge 2\;(a>0)\) | 正数与其倒数的和的最小值 |
| 平方形式 | \(a^2 + b^2 \ge 2ab\) | 平方和与积的比较 |
| 三维推广 | \(\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}\) | 三个正数的均值不等式 |
四、基本不等式求最值的条件——"一正二定三相等"
使用基本不等式求最值必须满足三个条件：
- 正：各项必须为正数（\(a > 0, b > 0\)）
- 定：和或积为定值
- 相等：当且仅当各项相等时取等号
【例题1】求最小值
问题：已知 \(x > 0\)，求 \(x + \frac{4}{x}\) 的最小值。
解：
[x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4]
当且仅当 \(x = \frac{4}{x}\)，即 \(x = 2\) 时取等。
所以最小值为 \(4\)。
【例题2】利用配凑法求最值（重点）
问题：已知 \(x > 1\)，求 \(x + \frac{1}{x-1}\) 的最小值。
分析：分母中有 \(x-1\)，我们需要在分子中也构造出 \(x-1\)。
解：
[x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1]
\(\because x > 1\)，\(\therefore x-1 > 0\)
[(x-1) + \frac{1}{x-1} \ge 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}} = 2]
当且仅当 \(x-1 = \frac{1}{x-1}\)，即 \(x = 2\) 时取等。
[\therefore x + \frac{1}{x-1} \ge 2 + 1 = 3]
最小值为 \(3\)。
【例题3】分离常数法
问题：已知 \(x > 0\)，求 \(\frac{x^2 + 3x + 4}{x}\) 的最小值。
解：
[\frac{x^2 + 3x + 4}{x} = x + 3 + \frac{4}{x}] [= (x + \frac{4}{x}) + 3 \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} + 3 = 4 + 3 = 7]
当且仅当 \(x = \frac{4}{x}\)，即 \(x = 2\) 时取等。
最小值为 \(7\)。
【例题4】换元法
问题：求 \(y = \frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 的最小值。
解：令 \(t = \sqrt{x^2 + 4}\)，则 \(t \ge 2\)
[y = \frac{t^2 + 1}{t} = t + \frac{1}{t}]
当 \(t \ge 2\) 时，函数 \(y = t + \frac{1}{t}\) 在 \([2, +\infty)\) 上单调递增。
所以当 \(t = 2\)（即 \(x = 0\)）时取得最小值：\(2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)。
注意：这里不能用基本不等式直接求最值，因为等号成立的条件 \(t = \frac{1}{t}\)，\(t = 1\) 不在定义域内。一定要验证等号是否可以取得！
五、常见错误与纠正
| 常见错误 | 错误示例 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 忽略正数条件 | 对负数使用基本不等式 | 先判断符号，负数可化为相反数再使用 |
| 不验证等号 | 直接套公式得出最值 | 必须验证取等条件是否在定义域内 |
| 缺"配凑"意识 | 直接套用和积形式失败 | 配凑出和为定值或积为定值的形式 |
| 忽视多次使用等号一致性 | 连续使用两次基本不等式 | 必须确保多个等号能同时成立 |
📝 趣味练习
练习一：判断正误 下列使用基本不等式的过程是否正确？如果不正确，请说明原因。
- \(\because x + \frac{1}{x} \ge 2\)，\(\therefore\) 当 \(x \in \mathbb{R}\) 时，\(x + \frac{1}{x}\) 的最小值为 2。
- \(\because y = \sin x + \frac{1}{\sin x}\)，\(x \in (0, \pi)\)，\(\therefore y \ge 2\)。
练习二：实际应用题 用篱笆围一个面积为 100 m² 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长度是多少？
提示：设长为 \(x\)，宽为 \(y\)，则 \(xy=100\)，篱笆长度 \(L=2(x+y)\)，用基本不等式求最小值。
参考答案
练习一：
- 错误。当 \(x < 0\) 时，\(x + \frac{1}{x} \le -2\)，不满足正数条件。
- 错误。虽然 \(\sin x > 0\)，但当 \(x = \frac{\pi}{2}\) 时 \(\sin x = 1\)，等号可取得，但最小值确实是 2，这里实际上是对的。注意定义域内取等条件成立。
练习二：由 \(xy=100\)，\(L=2(x+y) \ge 4\sqrt{xy} = 40\)，当 \(x=y=10\) 时取等。所以长宽各为 10 米时，篱笆最短为 40 米。
六、课后作业
基础题
- 已知 \(x > 0\)，求 \(x + \frac{9}{x}\) 的最小值，并写出取等条件。
- 已知 \(x > 0, y > 0\)，且 \(xy = 36\)，求 \(x + y\) 的最小值。
提高题
- 已知 \(x > 2\)，求 \(x + \frac{4}{x-2}\) 的最小值。
- 已知 \(x > 0, y > 0\)，且 \(x + 2y = 8\)，求 \(xy\) 的最大值。
拓展题
- 已知 \(a, b, c > 0\)，求证：\((a+b+c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 9\)。
- 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，容积为 4800 m³，深为 3 m。池底每平方米造价 150 元，池壁每平方米造价 120 元。怎样设计能使总造价最低？最低总造价是多少？
附录：深度拓展与综合运用
七、基本不等式的多种证明方法
方法一：几何证明（弦图法）
如图所示，以 \(a + b\) 为直径作半圆，则半径 \(r = \frac{a+b}{2}\)，弦上高 \(\sqrt{ab}\)（射影定理）。因为半径不小于弦高，所以 \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)。
方法二：代数证明（配方法）
对于任意实数 \(a, b\)：
[(a - b)^2 \ge 0] [a^2 - 2ab + b^2 \ge 0] [a^2 + b^2 \ge 2ab]
令 \(a = \sqrt{x}, b = \sqrt{y}\)（\(x, y > 0\)），则：
[(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2 \ge 2\sqrt{x}\sqrt{y}] [x + y \ge 2\sqrt{xy}] [\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}]
方法三：反证法
假设 \(\frac{a+b}{2} < \sqrt{ab}\)，则 \(a + b < 2\sqrt{ab}\)，\(a + b - 2\sqrt{ab} < 0\)，\((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 < 0\)，与平方非负矛盾。故假设不成立，原不等式成立。
八、经典题型分类精讲
题型一："1"的代换
问题：已知 \(x > 0, y > 0\)，且 \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\)，求 \(x + y\) 的最小值。
解：
[x + y = (x + y)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 = 2 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})] [\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2] [\therefore x + y \ge 4]
当且仅当 \(\frac{x}{y} = \frac{y}{x}\) 且 \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\)，即 \(x = y = 2\) 时取等。
题型二：两式相乘构造定积
问题：已知 \(x > 0, y > 0\)，且 \(2x + 3y = 6\)，求 \(xy\) 的最大值。
解法一（直接法）：
[xy = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot y \le \frac{1}{2} \cdot (\frac{2x + 2y}{2})^2]
注意这里系数不一致，正确解法应使用配凑：
[6 = 2x + 3y \ge 2\sqrt{2x \cdot 3y} = 2\sqrt{6xy}] [\therefore \sqrt{6xy} \le 3] [6xy \le 9] [xy \le \frac{3}{2}]
当且仅当 \(2x = 3y\)，即 \(x = \frac{3}{2}, y = 1\) 时取等。
所以 \(xy\) 的最大值为 \(\frac{3}{2}\)。
题型三：分式型函数最值
问题：求 \(y = \frac{x^2 + 2}{x - 1}\)（\(x > 1\)）的最小值。
解：
[y = \frac{x^2 + 2}{x - 1} = \frac{(x^2 - 1) + 3}{x - 1}] [= \frac{(x-1)(x+1) + 3}{x - 1} = x + 1 + \frac{3}{x-1}] [= (x - 1) + \frac{3}{x-1} + 2] [\ge 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{3}{x-1}} + 2 = 2\sqrt{3} + 2]
当且仅当 \(x - 1 = \frac{3}{x-1}\)，即 \(x = 1 + \sqrt{3}\) 时取等。
九、基本不等式与函数单调性的综合
当基本不等式的取等条件不在定义域内时，需要借助函数的单调性来求最值。
【例题5】对勾函数 \(+\) 基本不等式
问题：求 \(y = x + \frac{1}{x}\) 在 \(x \in [\frac{1}{2}, 3]\) 上的值域。
分析：\(y = x + \frac{1}{x}\) 是对勾函数，在 \((0,1]\) 上单调递减，在 \([1,+\infty)\) 上单调递增。
解：
当 \(x = 1\)（在区间内）时取最小值：\(y_{min} = 1 + 1 = 2\)
区间端点比较：
[x = \frac{1}{2}: y = \frac{1}{2} + 2 = 2.5] [x = 3: y = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33]
所以值域为 \([2, \frac{10}{3}]\)。
十、基本不等式在实际问题中的应用
【例题6】几何优化
问题：用一段长为 36 米的铁丝网围成一个矩形养鸡场，已知矩形的一边靠墙（墙足够长），问矩形的长和宽各为多少时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
解：设靠墙边为长 \(x\)，另一边为宽 \(y\)
铁丝网围的是三条边：\(x + 2y = 36\)
面积：\(S = xy = y(36 - 2y) = 36y - 2y^2\)
用基本不等式法：
[S = xy = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2y \le \frac{1}{2}(\frac{x + 2y}{2})^2] [= \frac{1}{2}(\frac{36}{2})^2 = \frac{1}{2} \times 324 = 162]
当且仅当 \(x = 2y\)，即 \(x = 18, y = 9\) 时取等。
所以长为 18 米、宽为 9 米时面积最大，最大面积为 162 平方米。
十一、易错题集锦
- 忽略正负：已知 \(x < 0\)，求 \(x + \frac{1}{x}\) 的最大值。 错解：\(x + \frac{1}{x} \ge 2\)（忽略负数条件） 正解：\(-x > 0\)，\((-x) + \frac{1}{-x} \ge 2\)，\(\therefore x + \frac{1}{x} \le -2\)，最大值为 \(-2\)。
- 取等条件丢失：求 \(\sin x + \frac{4}{\sin x}\)，\(x \in (0, \pi)\) 的最小值。 注意：\(\sin x > 0\)，等号成立条件 \(\sin x = \frac{4}{\sin x}\)，\(\sin^2 x = 4\)，\(\sin x = 2\)，不可能！所以不能用基本不等式。 正解：令 \(t = \sin x \in (0,1]\)，\(y = t + \frac{4}{t}\)，利用对勾函数单调性知 \(t=1\) 时取最小值 \(5\)。
- 叠加不等式等号不同时：求 \(a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a}\) 的最小值（\(a,b>0\)）。 注意：先分组再用基本不等式时，需确保两个等号同时成立。
十二、课堂总结与口诀记忆
基本不等式口诀：
正数积和为定值，一正二定三相等。
算术不小于几何，配凑变形要灵活。
取等条件要验证，函数单调作后盾。
对勾函数常相伴，最值问题总搞定。
十三、高考真题链接
2023年新高考I卷
若 \(x > 0, y > 0\)，且 \(x + y = 1\)，则 \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) 的最小值为______。
解析：
[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = (x + y)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 = 2 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})] [\ge 2 + 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 4]
当且仅当 \(x = y = \frac{1}{2}\) 时取等。
答案：4
2022年全国乙卷
已知 \(a, b > 0\)，且 \(a + b = 4\)，则 \(ab\) 的最大值为______。
解析：
[ab \le (\frac{a+b}{2})^2 = (\frac{4}{2})^2 = 4]
当且仅当 \(a = b = 2\) 时取等。
答案：4
十四、思考题与自主探索
- 试证明对任意正实数 \(a, b, c\)，有 \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\)。
- 已知 \(a > 0, b > 0\)，求证：\(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\)。
- 已知 \(x > 0, y > 0\)，且 \(x + y = 1\)，求 \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) 的最大值。