递推数列求通项——六大方法全归纳

方法一：累加法（适用于 aₙ₊₁ = aₙ + f(n)型）

题型特征：相邻两项之差为关于n的函数

步骤： a₂ - a₁ = f(1) a₃ - a₂ = f(2) ... aₙ - aₙ₋₁ = f(n-1)

左右分别相加，得：aₙ - a₁ = Σ_{k=1}^{n-1} f(k)

例题：已知a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+2n+1，求aₙ。

解： a₂-a₁=3，a₃-a₂=5，...，aₙ-aₙ₋₁=2n-1 累加得：aₙ-1=3+5+...+(2n-1) = (n-1)(3+2n-1)/2 = n²-1 ∴ aₙ = n²

题型特征：相邻两项之比为关于n的函数

步骤： a₂/a₁ = g(1), a₃/a₂ = g(2), ..., aₙ/aₙ₋₁ = g(n-1) 累乘得：aₙ/a₁ = Π_{k=1}^{n-1} g(k)

例题：已知a₁=2，aₙ₊₁= aₙ · (n+1)/n ，求aₙ。

解： a₂/a₁=2/1，a₃/a₂=3/2，...，aₙ/aₙ₋₁=n/(n-1) 累乘得：aₙ/2 = 2/1 × 3/2 × 4/3 × ... × n/(n-1) = n ∴ aₙ = 2n

题型特征：一阶线性递推，p≠1

步骤：设aₙ₊₁ + λ = p(aₙ + λ)，解得λ = q/(p-1) 则 {aₙ + λ} 是等比数列

例题：已知a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3，求aₙ。

解：设aₙ₊₁+λ=2(aₙ+λ)，展开得aₙ₊₁=2aₙ+λ，对比知λ=3 ∴ aₙ₊₁+3=2(aₙ+3)，数列{aₙ+3}是首项为4、公比为2的等比数列 aₙ+3=4×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹ ∴ aₙ=2ⁿ⁺¹-3

题型特征：分式型递推

步骤：两边取倒数，转化为等差数列

例题：已知a₁=1，aₙ₊₁=aₙ/(2aₙ+1)，求aₙ。

解： 1/aₙ₊₁ = (2aₙ+1)/aₙ = 2 + 1/aₙ ∴ 1/aₙ₊₁ - 1/aₙ = 2，数列{1/aₙ}是等差数列，公差为2 1/aₙ = 1 + (n-1)×2 = 2n-1 ∴ aₙ = 1/(2n-1)

题型特征：指数型递推

步骤：两边取对数，转化为等差或等比数列

题型特征：二阶线性递推（斐波那契型）

步骤：解特征方程 x² = px + q，根据根的情况构造通项