一、考情概览
立体几何是高考数学的必考大题，全国卷通常位于第 18～19 题，分值 12～17 分，一般分两问：第一问证明平行或垂直，第二问求空间角（线面角、二面角）或距离。近几年命题明显"向量化"：只要题目中出现"求二面角的余弦值""求直线与平面所成角"等表述，用空间向量法几乎可以稳定拿到满分，因为它把几何推理转化成了代数计算。
但空间向量法也有两个前提：一是会"建系"，二是算得准。建系错了，后面全错；法向量算错一个符号，整个答案就反了。本文把建系原则、法向量求法、三个核心公式、典型例题和易错点一次讲清。
二、建系的三条原则
原则一：找三条两两垂直的直线。常见来源是"墙角模型"——长方体、正方体、直三棱柱、以及由正方形/矩形折成的空间图形。
原则二：让定点尽可能落在坐标轴上或坐标平面内。这样写出各点坐标时只需要读长度，不用做复杂投影。
原则三：坐标系必须写成右手系。判断方法：x 轴逆时针转 90° 到 y 轴，右手四指从 x 转向 y 时大拇指指向 z 轴正方向。
以棱长为 1 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 为例，令 A 为原点，AB 沿 x 轴，AD 沿 y 轴，AA₁ 沿 z 轴，则：
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， A₁(0,0,1)，B₁(1,0,1)，C₁(1,1,1)，D₁(0,1,1)。
写坐标时统一"先平面后竖轴"：底面上的点 z=0，顶面上的点 z=1，这样能显著减少写错坐标的概率。
三、法向量的求法（重点）
平面 α 的法向量 n 与 α 内任意两个不共线的向量都垂直。设 n=(x,y,z)，由两个数量积为零得到方程组：
n·a = 0，n·b = 0。
由于只有两个方程、三个未知数，可令其中一个未知数为 1（或取最方便的整数），解出另外两个。操作口诀是"令 x=1 求 y、z，分母出现时同乘分母取整，出现根号时保留根号"。
例：已知 a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，求平面法向量。
设 n=(x,y,z)，则 x+y=0，y+z=0。令 x=1，得 y=-1，z=1，故 n=(1,-1,1)。
检验：n·a=1-1+0=0，n·b=0-1+1=0，成立。
建议在草稿纸上随手验算一次，两秒钟就能避免整题失分。
四、三个核心公式
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，两条直线 l₁、l₂ 的方向向量为 a₁、a₂，两平面 α、β 的法向量为 n₁、n₂。
（1）线面角：设 l 与 α 所成的角为 θ，则
sin θ = |a·n| / (|a||n|)，其中 θ ∈ [0°, 90°]。
注意是 sin，不是 cos，这是最常见的失分点。
（2）二面角：设 α、β 所成的二面角为 θ，则
|cos θ| = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)。
得到 |cos θ| 后必须判断二面角是锐角还是钝角：观察题目图形，或看两个法向量的方向（都指向二面角内部/外部时取补角）。若题目说明"二面角 A-BD-C 的平面角为锐角"，则直接取正值。
（3）点到平面的距离：设点 P 到平面 α 的距离为 d，A 为 α 内任一点，n 为 α 的法向量，则
d = |AP·n| / |n|。
（4）线线角：设 l₁、l₂ 所成角为 θ，则 cos θ = |a₁·a₂| / (|a₁||a₂|)。
五、典型例题
例如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，边长 2，PA ⊥ 底面 ABCD，PA=2。求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值。
第一步，建系。因 PA ⊥ 底面，以 A 为原点，AB 沿 x 轴、AD 沿 y 轴、AP 沿 z 轴。
各点坐标：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)。
第二步，求平面 PCD 的法向量。
PC=(2,2,-2)，PD=(0,2,-2)。设 n=(x,y,z)，则
2x+2y-2z=0，即 x+y-z=0； 2y-2z=0，即 y=z。
令 y=z=1，得 x=0，故 n=(0,1,1)。
第三步，求线面角。
PB=(2,0,-2)，|PB|=2√2，|n|=√2，PB·n=0+0-2=-2。
sin θ = |PB·n|/(|PB||n|) = 2/(2√2·√2) = 2/4 = 1/2。
故直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 1/2（即 30°）。
小结：这道题的"陷阱"在于容易用底面 ABCD 建系（以 A 为原点、AB 与 AD 沿 x、y 轴、AP 沿 z 轴），此时要特别注意 PA 垂直于底面意味着 z 轴就是 PA 方向，不要把底面坐标平面建错。写完 5 个点坐标后，建议立刻检查：底面点 z=0、顶点 P 的 x、y 均为 0，若不符合说明建系或坐标写错了。
六、易错点清单
- 线面角公式与二面角公式混用，把 sin 写成 cos。
- 二面角未判断锐钝，直接写负值或漏掉符号处理。
- 法向量只求出一个解就代入，未化成最简整数。
- 建系不是右手系，导致叉积方向整体反向（对第二问的符号判断有影响）。
- 向量坐标由"终点减起点"计算，方向弄反会让 |cos| 相同但推理过程不严谨，建议全程统一"终点−起点"。
- 第一问的证明题若用向量证明平行，务必写成"因为存在实数 λ 使 MN=λAB，故 MN∥AB"，不能只写出坐标相等。
七、分层练习
基础题：正方体棱长 1，求 BD₁ 与平面 ABCD 所成角的正切值。（提示：tan θ = DD₁/BD = 1/√2，即 √2/2。）
提高题：在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，∠BAC=90°，AB=AC=1，AA₁=2，求平面 A₁BC 与平面 ABC 所成二面角的余弦值。（提示：以 A 为原点建系，可求得 |cos θ|=√6/6，再结合图形判断取正值。）
挑战题：四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PD，求证平面 PAD ⊥ 平面 ABCD，并求二面角 A-PB-C 的余弦值。请分别用综合法（几何推理）与向量法完成，比较两种方法的书写量。
八、方法复盘
空间向量法的价值在于"标准化"：建系—写坐标—求向量—求法向量—代公式，五步固定，几乎不会因为题目造型新颖而卡住。练好它的关键不在难题，而在把上述五步写成肌肉记忆，并养成"每步验算一次的"习惯：坐标验一遍、法向量验一遍、最终结论与图形直观比一比（比如二面角看上去是钝角，算出来却是锐角就要回查）。做到这三点，立体几何大题就是高考中性价比最高的一道题。