高三(数学): 数列求和——裂项相消与错位相减

数列求和——裂项相消与错位相减

一、裂项相消法

适用： 通项形如 1/(n(n+1)) 的分数式

核心思想： 把一项拆成两项的差，求和时正负相消。

常用裂项公式： | 通项 | 裂项形式 | |------|---------| | 1/(n(n+1)) | 1/n - 1/(n+1) | | 1/(n(n+k)) | (1/k)·(1/n - 1/(n+k)) | | 1/((2n-1)(2n+1)) | (1/2)·(1/(2n-1) - 1/(2n+1)) | | 1/(√(n+1)+√n) | √(n+1) - √n |

例题：

求和 Sₙ = 1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(n(n+1))

解： Sₙ = (1-1/2) + (1/2-1/3) + ... + (1/n-1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)

二、错位相减法

适用： 等差数列 × 等比数列 形式的数列求和

通项形式：aₙ = (kn+b)·qⁿ（等差乘等比）

步骤： | 步骤 | 操作 | |------|------| | ① 写出Sₙ | Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ | | ② 乘以公比q | qSₙ = qa₁ + qa₂ + ... + qaₙ | | ③ 错位相减 | Sₙ - qSₙ | | ④ 求Sₙ | 利用等比数列求和公式 |

例题：

求和 Sₙ = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + ... + n×2ⁿ

解： Sₙ = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + ... + n×2ⁿ ① 2Sₙ = 1×2² + 2×2³ + ... + (n-1)×2ⁿ + n×2ⁿ⁺¹ ② ①-②：-Sₙ = 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n×2ⁿ⁺¹ -Sₙ = 2(2ⁿ-1) - n×2ⁿ⁺¹ Sₙ = (n-1)×2ⁿ⁺¹ + 2

三、其他常用方法