高三(数学): 函数与导数综合问题——单调性与极值
适用于高三数学课本同步复习——导数及其应用
导数是高考数学的压轴题核心内容，灵活运用导数研究函数性质是高分的关键。
一、基本概念
导数与函数单调性的关系
若函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上可导，则：
| 导数符号 | 函数单调性 | 几何意义 |
|---|---|---|
| $f'(x) > 0$ | $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递增 | 切线斜率为正 |
| $f'(x) < 0$ | $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减 | 切线斜率为负 |
| $f'(x) = 0$ | $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可能为常数或取得极值 | 切线水平 |
💡 注意：$f'(x) > 0$ 是可导函数单调递增的充分不必要条件。例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为0，但整体单调递增。
极值的判定
| 条件 | 结论 | 说明 |
|---|---|---|
| $f'(x_0)=0$ 且 $f'(x)$ 左正右负 | 极大值点 | 先增后减 |
| $f'(x_0)=0$ 且 $f'(x)$ 左负右正 | 极小值点 | 先减后增 |
| $f'(x_0)=0$ 且 $f'(x)$ 不变号 | 不是极值点 | 拐点（如 $x^3$ 在 $x=0$） |
二阶导数法
$f''(x_0) > 0$ → $x_0$ 是极小值点（下凸） $f''(x_0) < 0$ → $x_0$ 是极大值点（上凸）
📝 注意：$f''(x_0)=0$ 时无法判断，需用一阶导数符号表判断。
二、核心题型与方法
题型1：求函数的单调区间
标准步骤： 1. 确定定义域 2. 求导 $f'(x)$ 3. 令 $f'(x) > 0$ 求增区间，$f'(x) < 0$ 求减区间 4. 注意不能遗漏定义域端点
示例： 求函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x$ 的单调区间。
解： 定义域：$x \in R$
$f'(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$
令 $f'(x) = 0$，得 $x=1$ 或 $x=2$
| $x$ | $(-\infty, 1)$ | $1$ | $(1, 2)$ | $2$ | $(2, +\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ 增 | 极大值 | $\searrow$ 减 | 极小值 | $\nearrow$ 增 |
结论：增区间 $(-\infty, 1)$ 和 $(2, +\infty)$，减区间 $(1, 2)$
题型2：已知单调性求参数范围
关键转化： - 在区间 $I$ 上单调递增 ⇔ $f'(x) \ge 0$ 在 $I$ 上恒成立（且等号不连续成立） - 在区间 $I$ 上单调递减 ⇔ $f'(x) \le 0$ 在 $I$ 上恒成立（且等号不连续成立）
示例： 已知函数 $f(x) = x^3 - ax^2 + (a+2)x$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围。
解： $f'(x) = 3x^2 - 2ax + (a+2)$
由题意：$f'(x) \ge 0$ 在 $R$ 上恒成立
$\because$ 二次项系数 $3 > 0$
$\therefore \Delta = (-2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (a+2) \le 0$
即 $4a^2 - 12a - 24 \le 0$，两边除以4：$a^2 - 3a - 6 \le 0$
解得：$\frac{3 - \sqrt{33}}{2} \le a \le \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$
三、典型例题
例题1：求极值与最值
已知函数 $f(x) = \ln x - ax$，$a \in R$。
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 当 $a = 1$ 时，求 $f(x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最值。
解： (1) 定义域：$x > 0$
$f'(x) = \frac{1}{x} - a = \frac{1-ax}{x}$
- 当 $a \le 0$ 时，$f'(x) > 0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增
- 当 $a > 0$ 时：令 $f'(x) = 0$，得 $x = \frac{1}{a}$
| $x$ | $(0, \frac{1}{a})$ | $\frac{1}{a}$ | $(\frac{1}{a}, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ 增 | 极大值 | $\searrow$ 减 |
(2) 当 $a = 1$ 时，$f(x) = \ln x - x$，在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上
由(1)知，$f(x)$ 在 $(0, 1]$ 上增，在 $[1, +\infty)$ 上减
又 $\frac{1}{e} < 1 < e$，极大值就是最大值：
$f(1) = \ln 1 - 1 = -1$（最大值）
$f(\frac{1}{e}) = \ln \frac{1}{e} - \frac{1}{e} = -1 - \frac{1}{e}$
$f(e) = \ln e - e = 1 - e$
比较：$f(\frac{1}{e}) - f(e) = (-1 - \frac{1}{e}) - (1 - e) = e - \frac{1}{e} - 2 > 0$
所以最小值是 $f(e) = 1 - e$
例题2：含参讨论
已知 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + 2x + 1$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上不单调，求 $a$ 的范围。
解： $f'(x) = x^2 + 2ax + 2$
由题意，$f'(x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 内至少有一个变号零点
$f'(0) = 2 > 0$
所以需要 $f'(\frac{1}{2}) < 0$
即 $(\frac{1}{2})^2 + 2a \cdot \frac{1}{2} + 2 < 0$
$\frac{1}{4} + a + 2 < 0$
$a + \frac{9}{4} < 0$
$a < -\frac{9}{4}$
四、趣味练习
练习1：火眼金睛
以下结论哪些是正确的？哪些是错误的？
- 若 $f'(x_0)=0$，则 $x_0$ 一定是极值点
- 可导函数 $f(x)$ 的极值点一定是导数为零的点
- 函数在区间端点处不可能取得极值
- 在区间 $I$ 上 $f'(x) > 0$ 是 $f(x)$ 单调递增的充分而不必要条件
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1. ❌ **错误**。反例：$f(x)=x^3$，$f'(0)=0$ 但 $x=0$ 不是极值点。 2. ✅ **正确**。可导函数的极值点处导数为0（费马引理）。 3. ✅ **正确**。极值是在邻域内定义的，端点只有一侧，不能成为极值。 4. ✅ **正确**。但注意区间内个别点导数为0不影响整体单调性。练习2：给函数配对
将下列函数与其导数符号表配对：
| 函数 | 导数符号表 |
|---|---|
| ① $f(x)=x^3-3x$ | A. $f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$，单调递增 |
| ② $f(x)=x^3+3x$ | B. $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$，$x=\pm 1$ 处为0 |
| ③ $f(x)=x+\frac{1}{x}$ | C. $f'(x) = 3x^2 - 3$，$x=\pm 1$ 处为0 |
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① → **C**：$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，$x=\pm 1$ 处导数为0，故增区间$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$，减区间$(-1,1)$ ② → **A**：$f'(x)=3x^2+3 \ge 3 > 0$，单调递增 ③ → **B**：$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$，$x=\pm 1$ 处导数为0五、课后作业
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基础题：求函数 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ 的单调区间和极值。
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提高题：已知函数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - ax + \ln x$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围。
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综合题：设函数 $f(x) = x^3 - 3ax + 1$。 (1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $f(x)$ 有三个不同的零点，求 $a$ 的取值范围。
💡 高考提示：导数综合题往往需要分类讨论。常见的分类标准有：导数为0时解的大小关系、二次项系数正负、定义域限制等。拿到题目先确定分类标准再动手，避免漏解。