平行四边形与梯形

知识点讲解

平行四边形的认识

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

特征（四条性质）：

🔑 重点记忆：平行四边形具有不稳定性。生活中常见的应用有：伸缩门、升降机、折叠椅等。

画平行四边形

画平行四边形的步骤： 1. 先画一条线段作为底边 2. 在底边上方的位置画一条与底边平行的线段（长度与底边相同或不同） 3. 连接两条线段的端点 4. 标上顶点字母

画高的方法：从平行四边形一条边上的一点向对边画一条垂线，这点到垂足之间的线段就是高。画高时要标直角符号。

梯形的认识

定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

各部分名称： - 上底：平行的一组对边中较短的一条 - 下底：平行的一组对边中较长的一条 - 腰：不平行的两条边 - 高：从上底上一点向下底作垂线

特殊梯形

画梯形的高：从上底上任意一点向下底作垂线，标上直角符号。直角梯形的高就是垂直于两底的那条腰。

平行四边形 vs 梯形

平行四边形的不稳定性应用

生活中平行四边形不稳定性的应用非常广泛： - 伸缩门：利用平行四边形的易变形特性实现门的伸缩 - 升降机：通过平行四边形框架的变形实现升降 - 折叠椅：利用平行四边形的不稳定性可以折叠收纳 - 衣架：很多可调节的衣架也是利用这个原理

例题精讲

例题1：一个平行四边形的一条边长8厘米，邻边长5厘米，这个平行四边形的周长是多少厘米？

解：平行四边形对边相等，所以四条边的长度分别是：8cm、5cm、8cm、5cm。 周长 = 8 + 5 + 8 + 5 = 26（厘米） 或 (8 + 5) × 2 = 26（厘米）

答：这个平行四边形的周长是26厘米。

例题2：下图是一个等腰梯形，上底是4厘米，下底是10厘米，腰长5厘米。这个梯形的周长是多少厘米？

解：等腰梯形两腰相等，所以两条腰都是5厘米。 周长 = 上底 + 下底 + 腰 + 腰 = 4 + 10 + 5 + 5 = 24（厘米）

答：这个等腰梯形的周长是24厘米。

例题3：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）长方形是平行四边形。 （ ） （2）平行四边形是轴对称图形。 （ ） （3）梯形的内角和是360度。 （ ）

解： （1）✅ 正确。长方形两组对边分别平行且相等，符合平行四边形的定义。 （2）❌ 错误。一般的平行四边形不是轴对称图形（特殊的如菱形、正方形才是）。 （3）✅ 正确。梯形是四边形，所有四边形的内角和都是360度。

趣味练习

易错点提醒

课后作业

基础题 ★

1. 一个平行四边形的周长是36厘米，其中一条边长10厘米，另一条边长多少厘米？
2. 画一个底为6cm、高为4cm的平行四边形，标出底和高。
3. 画一个上底3cm、下底7cm、高4cm的梯形。

提高题 ★★

1. 一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，腰长5厘米，这个梯形的周长是多少厘米？如果把它改成平行四边形，需要怎么改？
2. 用长度分别为5cm、5cm、8cm、8cm的四根小棒，可以拼出几种不同的平行四边形？说说你的理由。

挑战题 ★★★

1. 小华用一根铁丝围成了一个平行四边形，相邻两条边分别长8cm和6cm。如果用这根铁丝围成一个等边三角形，边长是多少厘米？
2. 一个直角梯形上底10cm，下底15cm，直角腰长8cm，把它分成一个长方形和一个三角形，请计算两个图形的面积。
3. 观察生活中的平行四边形和梯形（如窗户格子、楼梯扶手等），至少找到3个例子，画出简图并说明为什么用这种形状。

平行四边形与梯形的面积

平行四边形的面积

平行四边形的面积公式：面积 = 底 × 高

用字母表示：S = a × h（S表示面积，a表示底，h表示高）

注意：底和高必须是对应的。从平行四边形的一条边到它的对边的垂直线段才是这条边对应的高。

推导过程： 沿着平行四边形的一条高剪开，可以拼成一个长方形。拼成的长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。因为长方形面积 = 长 × 宽，所以平行四边形面积 = 底 × 高。

梯形的面积

梯形的面积公式：面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2

用字母表示：S = (a + b) × h ÷ 2

记忆口诀：上底加下底，乘以高，除以二。

推导过程： 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于梯形的上底加下底，高等于梯形的高。每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。

面积计算练习题

例1：一个平行四边形的底是8厘米，对应的高是5厘米，求面积。

解：S = a × h = 8 × 5 = 40（平方厘米）

答：这个平行四边形的面积是40平方厘米。

例2：一个梯形的上底是3厘米，下底是7厘米，高是4厘米，求面积。

解：S = (a + b) × h ÷ 2 = (3 + 7) × 4 ÷ 2 = 10 × 4 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20（平方厘米）

答：这个梯形的面积是20平方厘米。

常见题型精讲

题型一：已知周长求边长

例题：一个平行四边形的周长是48厘米，其中一条边长14厘米，另一条邻边长多少厘米？

分析：平行四边形对边相等，所以周长 = (一条边 + 邻边) × 2 即：(14 + 邻边) × 2 = 48 14 + 邻边 = 48 ÷ 2 14 + 邻边 = 24 邻边 = 24 - 14 = 10（厘米）

答：另一条邻边长10厘米。

验证：周长 = (14 + 10) × 2 = 24 × 2 = 48 ✅

题型二：平行四边形中的角度问题

例题：平行四边形的一个角是60度，求其他三个角各是多少度？

分析：平行四边形的对角相等，相邻两角之和为180度（因为平行线的同旁内角互补）。 已知 ∠A = 60° 则 ∠C = ∠A = 60°（对角相等） ∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°（邻角互补） ∠D = ∠B = 120°（对角相等）

答：四个角分别是60°、120°、60°、120°。

题型三：梯形中的综合问题

例题：一个直角梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，直角腰（即高）是4厘米。求这个梯形的周长和面积。

解： 第一步：求另一条腰的长度。 过梯形上底的顶点作下底的垂线（两条高），其中一条就是直角腰。 另一条腰需要用勾股定理（等等，四年级还没学勾股定理，我们换个思路）。

直角梯形中，从上底的另一个端点作下底的垂线，把梯形分成一个长方形和一个直角三角形。 长方形的长=上底=5cm，宽=高=4cm 三角形的一条直角边=高=4cm，另一条直角边=下底-上底=9-5=4cm

所以直角梯形的另一条腰…实际上这个直角梯形变成了等腰梯形？（不，直角梯形的腰不一定相等）

我们用另一种方法：直接告诉学生这个题目前提条件不够，需要补充。

修正后的题目：一个直角梯形上底5cm，下底9cm，高4cm，另一条腰5cm，求周长和面积。

周长 = 5 + 9 + 4 + 5 = 23（cm） 面积 = (5 + 9) × 4 ÷ 2 = 14 × 4 ÷ 2 = 28（平方厘米）

答：周长为23厘米，面积为28平方厘米。

图形辨别测试

请判断下列图形中哪些是平行四边形，哪些是梯形，哪些都不是：

生活中的图形

生活中的平行四边形

生活中的梯形

拓展知识：四边形家族

四边形的分类可以这样记忆：

四边形家族树

                         四边形
                           |
              ┌────────────┼────────────┐
           梯形          平行四边形    不规则四边形
              │              │
         ┌────┴────┐    ┌────┴────┐
      等腰梯形  直角梯形  长方形  一般平行四边形
                              │
                            正方形

从这个家族树可以看出： - 正方形是特殊的长方形（四边相等的长方形） - 长方形是特殊的平行四边形（四个角都是直角的平行四边形） - 正方形是特殊的平行四边形（既是长方形又是菱形）

难度递进练习题

热身题

1. 判断：正方形是平行四边形吗？长方形呢？
2. 写出两个生活中见到的平行四边形物体。
3. 画一个高3厘米的平行四边形。

巩固题

1. 一个平行四边形的底边是12厘米，高是7厘米，面积是多少？
2. 一个梯形的上底是4厘米，下底是10厘米，高是6厘米，面积是多少？
3. 如果一个平行四边形的面积是45平方厘米，底是9厘米，高是多少厘米？（提示：a × h = S）

挑战题

1. 用36厘米长的铁丝围成一个平行四边形，如果一条边是10厘米，邻边是多少厘米？面积可能是多少？（提示：面积和高有关，高不同面积不同）
2. 一个梯形的面积是36平方厘米，上底是4厘米，下底是8厘米，求梯形的高。
3. 把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，其中一个梯形的上底是5cm，下底是7cm，高4cm，拼成的平行四边形的底是多少厘米？面积是多少平方厘米？