一、知识点讲解
（一）离散型随机变量的概念
离散型随机变量：如果随机变量 $X$ 的所有可能取值可以一一列举出来（即取值为有限个或可列无限个），则称 $X$ 为离散型随机变量。
核心特征： 1. 取值能一一列举（如：抛掷骰子的点数 $1,2,3,4,5,6$） 2. 每个取值都有确定的概率 3. 所有概率之和为 1
（二）分布列的定义与性质
分布列：设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1, x_2, \dots, x_n$，$X$ 取每个值 $x_i$ 的概率为 $p_i$，即：
$$P(X = x_i) = p_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$$
则表格：
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
称为 $X$ 的分布列。
分布列的性质： 1. 非负性：$p_i \geq 0, \quad i=1,2,\dots,n$ 2. 归一性：$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$
（三）三种常见分布
| 分布名称 | 定义 | 概率公式 | 期望 $E(X)$ | 方差 $D(X)$ |
|---|---|---|---|---|
| 两点分布（0-1分布） | 一次试验只有两种结果 | $P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 $B(n,p)$ | $n$ 次独立重复试验 | $P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 超几何分布 $H(N,M,n)$ | 不放回抽取 | $P(X=k)=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ | $n\frac{M}{N}$ | $\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$ |
二、核心公式与推导
（一）二项分布的期望推导
$$E(X) = \sum_{k=0}^n k \cdot C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$$ $$\quad = np \sum_{k=1}^n C_{n-1}^{k-1} p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}$$ $$\quad = np [p + (1-p)]^{n-1} = np$$
（二）方差公式
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
对于二项分布：$D(X) = np(1-p)$
📌 趣味练习：哪个分布更合理？
判断下列情境适用哪种分布，并说明理由： | 情境 | 你的判断 | 理由 | |------|---------|------| | 掷一颗骰子10次，记录出现6点的次数 | | | | 从100件产品（含5件次品）中不放回抽10件，记录次品数 | | | | 某射击手命中率为0.8，射击5次，记录命中次数 | | | | 抛一枚硬币1次，记录正面朝上与否 | | | **答案**： - 掷骰子10次→二项分布 $B(10,\frac{1}{6})$（独立重复试验） - 不放回抽10件→超几何分布（不放回，总产品有限） - 射击5次→二项分布 $B(5,0.8)$（独立重复试验） - 抛硬币1次→两点分布（一次试验两种结果）三、典型例题
例题：某射击运动员每次射击命中目标的概率为 0.8，假设每次射击结果相互独立。
（1）该运动员射击 3 次，求恰好命中 2 次的概率。 （2）该运动员射击 3 次，求命中次数 $X$ 的分布列。
解：
（1）设命中次数为 $X$，则 $X \sim B(3, 0.8)$
$$P(X=2) = C_3^2 \times 0.8^2 \times 0.2^{1} = 3 \times 0.64 \times 0.2 = 0.384$$
（2）$X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$
$$P(X=0) = C_3^0 \times 0.8^0 \times 0.2^3 = 1 \times 1 \times 0.008 = 0.008$$ $$P(X=1) = C_3^1 \times 0.8^1 \times 0.2^2 = 3 \times 0.8 \times 0.04 = 0.096$$ $$P(X=2) = 0.384$$ $$P(X=3) = C_3^3 \times 0.8^3 \times 0.2^0 = 1 \times 0.512 \times 1 = 0.512$$
分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | 0.008 | 0.096 | 0.384 | 0.512 |
验证：$0.008 + 0.096 + 0.384 + 0.512 = 1 \quad \checkmark$
四、课后作业
基础题
- 已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=k)=\frac{k}{15}, k=1,2,3,4,5$，求 $P(2 < X \leq 4)$。
- 某盒中有 10 个球，其中 3 个红球、7 个白球。从中不放回地摸取 2 个球，设摸到的红球个数为 $X$，求 $X$ 的分布列。
- 若 $X \sim B(5, 0.4)$，求 $P(X \geq 3)$。
提高题
- 甲、乙两人进行投篮比赛，甲命中率为 0.7，乙命中率为 0.6，每人投 3 次。设甲、乙命中次数分别为 $X$ 和 $Y$。 （1）求 $P(X=2)$ 和 $P(Y=2)$； （2）求 $P(X > Y)$。
- 某公司生产一批产品共 100 件，其中含 8 件次品。质检员从中有放回地抽取 5 件检验，求： （1）抽到次品件数的分布列； （2）抽到至少 1 件次品的概率。
拓展题
- 证明：超几何分布的期望 $E(X) = n\frac{M}{N}$。（提示：利用组合恒等式 $k C_M^k = M C_{M-1}^{k-1}$）
- 结合实际生活场景，设计一个可用二项分布模型解决的问题，列出完整的分布列并计算期望和方差。
五、深入理解：期望与方差的应用
（一）期望的实际意义
期望值 $E(X)$ 反映的是随机变量取值的平均水平，可以理解为大量重复试验中观测值的平均值。
重要性质： 1. 线性性质：$E(aX + b) = aE(X) + b$ 2. 和的期望：$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ 3. 独立积的期望：若 $X, Y$ 独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$
（二）方差的实际意义
方差 $D(X)$ 反映的是随机变量取值的离散程度，方差越大，数据波动越大。
重要性质： 1. $D(aX + b) = a^2D(X)$ 2. $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ 3. 若 $X, Y$ 独立，则 $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$
（三）标准差
$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$$
标准差与 $X$ 的单位相同，更易于直观理解数据的离散程度。
六、题型分类与解题模板
类型一：求分布列（三步法）
| 步骤 | 操作 | 示例 |
|---|---|---|
| 第一步 | 确定随机变量 $X$ 的所有可能取值 | 如：抽取2个球，红球个数可为 0,1,2 |
| 第二步 | 用排列组合或概率公式计算每个值对应的概率 | 如：$P(X=k) = \frac{C_3^k C_7^{2-k}}{C_{10}^2}$ |
| 第三步 | 列表验算（概率和是否为1） | $\sum p_i = 1$ |
类型二：求期望和方差
模板： 1. 先求出分布列 2. 代入公式 $E(X) = \sum x_i p_i$ 3. 代入公式 $D(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i = E(X^2) - [E(X)]^2$
类型三：二项分布与超几何分布的辨别
| 条件 | 二项分布 | 超几何分布 |
|---|---|---|
| 抽样方式 | 有放回/独立重复 | 不放回 |
| 总体大小 | 无限大或近似无限 | 有限总体 |
| 每次概率 | 固定不变 | 随抽取而变化 |
| 公式 | $C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ | $\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ |
| 近似 | — | 当 $n/N \leq 0.1$ 时可用二项近似 |
七、经典例题精讲
例题一：分布列综合应用
题目：一个袋中有4个红球和6个白球，不放回地随机取球3次，每次取1个。设取到的红球个数为 $X$，求 $X$ 的分布列、期望和方差。
解： $X$ 服从超几何分布 $H(10, 4, 3)$
$P(X=k) = \frac{C_4^k C_6^{3-k}}{C_{10}^3}, \quad k=0,1,2,3$
$C_{10}^3 = 120$
$$P(X=0) = \frac{C_4^0 C_6^3}{120} = \frac{1 \times 20}{120} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$$ $$P(X=1) = \frac{C_4^1 C_6^2}{120} = \frac{4 \times 15}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$ $$P(X=2) = \frac{C_4^2 C_6^1}{120} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$$ $$P(X=3) = \frac{C_4^3 C_6^0}{120} = \frac{4 \times 1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$$
分布列：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{30}$ |
验算：$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} + \frac{1}{30} = \frac{5 + 15 + 9 + 1}{30} = 1$
$$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{30} = 0 + 0.5 + 0.6 + 0.1 = 1.2$$
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{1}{30} = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56$$
例题二：二项分布的实际应用
题目：某工厂生产的产品合格率为 0.95。质检员每天随机抽查 20 件产品，求： （1）恰好有 1 件次品的概率； （2）次品数不超过 2 件的概率； （3）次品数的期望和方差。
解： 设次品数为 $X$，则 $X \sim B(20, 0.05)$
（1）$P(X=1) = C_{20}^1 \times 0.05 \times 0.95^{19} \approx 20 \times 0.05 \times 0.3774 \approx 0.3774$
（2）$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
$$P(X=0) = 0.95^{20} \approx 0.3585$$ $$P(X=1) \approx 0.3774$$ $$P(X=2) = C_{20}^2 \times 0.05^2 \times 0.95^{18} = 190 \times 0.0025 \times 0.3972 \approx 0.1887$$
$$P(X \leq 2) \approx 0.3585 + 0.3774 + 0.1887 = 0.9246$$
（3）期望 $E(X) = np = 20 \times 0.05 = 1$；方差 $D(X) = np(1-p) = 20 \times 0.05 \times 0.95 = 0.95$
八、常见错误与易错点
易错点一：混淆有放回与不放回
错误：直接将超几何分布当二项分布计算。 判断方法：看题目中是否明确"有放回"或"不放回"。无说明时看总体大小与抽样数量的比例。
易错点二：分布列概率和不为1
错误：计算遗漏某些取值或概率算错。 检查：分布列列完后，一定要将所有概率相加检验是否为1。
易错点三：期望公式计算错误
错误：将 $E(X^2)$ 当成 $[E(X)]^2$。 纠正：$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$，而 $[E(X)]^2 = (\sum x_i p_i)^2$，二者不同。方差公式中需要计算二者之差。
九、课后作业（补充）
综合训练
-
某篮球运动员罚球命中率为 0.75，独立罚球 4 次，求： （1）恰好命中 3 次的概率； （2）命中次数的期望和方差。
-
在一个不透明的盒子中有 5 个白球和 3 个红球，有放回地抽取 4 次，每次取一个球。设 $X$ 为抽到红球的次数。 （1）求 $X$ 服从什么分布； （2）求 $X$ 的分布列； （3）求 $P(X \geq 2)$。
-
从 1, 2, 3, 4, 5 这五个数字中随机取出 3 个数字（不放回），设取出的最大数字为 $X$，求 $X$ 的分布列和期望。
探究拓展
- 证明：若 $X \sim B(n, p)$，则 $E(X) = np$，并进一步推导二项分布的方差公式。
- 在实际生活中，举出三个可以用离散型随机变量描述的例子，并判断它们分别符合哪种分布，说明理由。
十、高考真题速递
2023年全国乙卷理科第17题（改编）
某厂生产甲、乙两种产品，甲产品的次品率为 0.02，乙产品的次品率为 0.01。从甲、乙产品中各随机抽取 100 件。
（1）求抽取的甲产品中恰有 2 件次品的概率； （2）设抽取的甲、乙产品中的次品总数分别为 $X$ 和 $Y$，求 $E(X)$ 和 $E(Y)$。
解题思路： （1）$X \sim B(100, 0.02)$，$P(X=2) = C_{100}^2 \times (0.02)^2 \times (0.98)^{98}$ （2）$E(X) = np = 100 \times 0.02 = 2$，$E(Y) = 100 \times 0.01 = 1$
拓展思考：如果甲、乙的产量比例为 3:2，则随机抽取一件产品是次品的概率是多少？ （提示：用全概率公式 $P(次品) = P(甲)P(次品|甲) + P(乙)P(次品|乙) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.01 = 0.016$）