初三数学：一元二次方程判别式与韦达定理综合应用

一、知识概览

一元二次方程是中考数学的核心考点。本章重点讲解两个关键工具：判别式（Δ） 和 韦达定理。掌握它们的综合运用，是解决二次函数综合题和方程应用题的必备能力。

基础公式回顾

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）：

• 判别式： $\Delta = b^2 - 4ac$
• $\Delta > 0$ ⇔ 两个不相等的实数根
• $\Delta = 0$ ⇔ 两个相等的实数根（重根）

• $\Delta < 0$ ⇔ 无实数根

• 韦达定理： 设两根为 $x_1, x_2$，则：

• $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
• $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

二、核心知识讲解

2.1 判别式的几何意义

判别式不仅仅是判断根的存在性，它在二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 中也有明确的几何意义：

2.2 韦达定理的灵活应用

利用韦达定理，可以在不解方程的情况下得到关于两根的对称式值：

常见对称式变形：

三、综合应用题型精讲

题型1：判别式与韦达定理的基本应用

例题1： 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 2 = 0$。

（1）当 $m$ 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）在（1）的条件下，若 $x_1^2 + x_2^2 = 10$，求 $m$ 的值。

【解】 （1）$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \times 1 \times (m^2 - 2)$ $\Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - 2)$ $\Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 8$ $\Delta = -8m + 12$

由题意：$\Delta > 0$，即 $-8m + 12 > 0$，解得 $m < \dfrac{3}{2}$。

（2）由韦达定理：$x_1 + x_2 = -2(m-1)$，$x_1x_2 = m^2 - 2$ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= 4(m-1)^2 - 2(m^2 - 2)$ $= 4m^2 - 8m + 4 - 2m^2 + 4$ $= 2m^2 - 8m + 8$

令 $2m^2 - 8m + 8 = 10$ $2m^2 - 8m - 2 = 0$ $m^2 - 4m - 1 = 0$ $m = 2 \pm \sqrt{5}$

由（1）知 $m < \dfrac{3}{2}$，所以 $m = 2 - \sqrt{5}$。

答案： $m = 2 - \sqrt{5}$

题型2：两根之间的特殊关系

例题2： 已知 $x_1, x_2$ 是方程 $2x^2 - 5x + 1 = 0$ 的两根，求下列各式的值：

（1）$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}$ （2）$(x_1 - x_2)^2$

【解】 由韦达定理：$x_1 + x_2 = \dfrac{5}{2}$，$x_1x_2 = \dfrac{1}{2}$

（1）$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$ $= \dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$ $= \dfrac{(\frac{5}{2})^2 - 2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$ $= \dfrac{\frac{25}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{21}{4}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{21}{4} \times 2 = \dfrac{21}{2}$

（2）$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ $= (\dfrac{5}{2})^2 - 4 \times \dfrac{1}{2}$ $= \dfrac{25}{4} - 2 = \dfrac{17}{4}$

题型3：判别式与韦达定理的综合——含参方程

例题3： 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 4k + 1 = 0$ 有两个实数根 $x_1, x_2$。

（1）求 $k$ 的取值范围； （2）若 $x_1 \cdot x_2 = 7$，求 $k$ 的值。

【解】 （1）$\Delta = [-2(k-1)]^2 - 4 \times 1 \times (k^2 - 4k + 1) \geq 0$ $\Delta = 4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 + 16k - 4$ $\Delta = 4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 16k - 4$ $\Delta = 8k \geq 0$ 解得 $k \geq 0$

（2）由韦达定理：$x_1x_2 = k^2 - 4k + 1$ 令 $k^2 - 4k + 1 = 7$ $k^2 - 4k - 6 = 0$ $k = 2 \pm \sqrt{10}$ 由（1）知 $k \geq 0$，所以 $k = 2 + \sqrt{10}$ 或 $k = 2 - \sqrt{10}$

注意：$2 - \sqrt{10} \approx -1.16 < 0$，不满足 $k \geq 0$，舍去。

答案： $k = 2 + \sqrt{10}$

四、趣味练习

五、课后作业

基础题（★★☆☆☆）

1. 已知方程 $x^2 - 3x + 1 = 0$，求 $x_1 + x_2$ 和 $x_1x_2$ 的值。
2. 不解方程，判断 $2x^2 - 3x + 5 = 0$ 的根的情况。
3. 已知方程 $3x^2 + 5x - 2 = 0$，求 $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ 的值。

提高题（★★★☆☆）

1. 关于 $x$ 的方程 $x^2 - (m+3)x + m + 2 = 0$。 （1）求证：无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）若 $x_1^2 + x_2^2 = 13$，求 $m$ 的值。

挑战题（★★★★☆）

1. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2mx + m^2 - 3m + 2 = 0$ 的两个实数根 $x_1, x_2$ 满足 $x_1^2 + x_2^2 = 8$，且 $m$ 为正整数，求 $m$ 的值。

六、判别式与韦达定理在二次函数中的应用

6.1 二次函数与x轴的交点问题

二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴的交点横坐标，就是一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。

例题4： 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + m$ 的图像与 $x$ 轴有交点，求 $m$ 的取值范围，并指出交点的个数。

【解】 与 $x$ 轴有交点 → 方程 $x^2 - 4x + m = 0$ 有实数根 → $\Delta \geq 0$

$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times m = 16 - 4m \geq 0$

解得 $m \leq 4$

• 当 $m < 4$ 时，$\Delta > 0$，两个不同交点
• 当 $m = 4$ 时，$\Delta = 0$，一个交点（顶点在 $x$ 轴上）
• 当 $m > 4$ 时，$\Delta < 0$，无交点

6.2 已知两根求二次函数解析式

例题5： 已知二次函数的图像与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ 和 $B(3,0)$，且过点 $C(0,-3)$，求二次函数解析式。

【解】 方法一（交点式）： 由韦达定理的逆用，可设 $y = a(x + 1)(x - 3) = a(x^2 - 2x - 3)$

代入 $C(0,-3)$：$-3 = a(0 - 0 - 3)$，解得 $a = 1$

所以 $y = x^2 - 2x - 3$

方法二（一般式）： 设 $y = ax^2 + bx + c$，由韦达定理： $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -1 + 3 = 2$，即 $b = -2a$ $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = (-1) \times 3 = -3$，即 $c = -3a$

代入 $C(0,-3)$：$c = -3$，所以 $-3a = -3$，$a = 1$ $b = -2$，$c = -3$

所以 $y = x^2 - 2x - 3$

七、根与系数的关系中的参数讨论

7.1 已知两根满足某种关系求参数

例题6： 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - (2k+1)x + 4(k - \dfrac{1}{2}) = 0$。

（1）求证：无论 $k$ 取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a = 4$，另两边长 $b, c$ 恰好是这个方程的两个根，求 $\triangle ABC$ 的周长。

【解】 （1）$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4 \times 1 \times 4(k - \dfrac{1}{2})$ $\Delta = 4k^2 + 4k + 1 - 16k + 8$ $\Delta = 4k^2 - 12k + 9$ $\Delta = (2k - 3)^2 \geq 0$

所以无论 $k$ 取何值，方程总有实数根。

（2）等腰三角形分两种情况：

情况①： $a = 4$ 是腰，则 $b = c$ 或 $b = 4$ 或 $c = 4$。

若 $b = c$，则 $\Delta = 0$，即 $(2k-3)^2 = 0$，$k = \dfrac{3}{2}$。 此时方程为 $x^2 - 4x + 4 = 0$，两根为 $b = c = 2$。 三角形三边为 $4, 2, 2$，但不满足三角形三边关系（$2 + 2 = 4$），舍去。

若 $b = 4$（或 $c = 4$），代入方程： $4^2 - (2k+1) \times 4 + 4(k - \dfrac{1}{2}) = 0$ $16 - 8k - 4 + 4k - 2 = 0$ $10 - 4k = 0$ $k = \dfrac{5}{2}$

此时方程为 $x^2 - 6x + 8 = 0$，两根为 $2$ 和 $4$。 三角形三边为 $4, 4, 2$，满足三角形三边关系。 周长为 $4 + 4 + 2 = 10$。

情况②： $a = 4$ 是底边，则 $b = c$。 与情况①中 $b = c$ 同，但 $b = c = 2$，三边为 $4, 2, 2$，不构成三角形。

综上所述： $\triangle ABC$ 的周长为 $10$。

八、中考压轴题型突破

题型4：判别式与韦达定理和不等式综合

例题7： 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0$ 有两个实数根 $x_1, x_2$，且 $x_1$ 和 $x_2$ 是一个矩形两邻边的长。

（1）求 $m$ 的取值范围； （2）当矩形的对角线长为 $\sqrt{30}$ 时，求 $m$ 的值； （3）当 $m$ 取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

【解】 （1）方程有两个实数根： $\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4(m^2 + 5) \geq 0$ $\Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 20 \geq 0$ $\Delta = 8m - 16 \geq 0$ 解得 $m \geq 2$

（2）由韦达定理： $x_1 + x_2 = 2(m+1)$，$x_1x_2 = m^2 + 5$

矩形对角线长 = $\sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{30}$

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= 4(m+1)^2 - 2(m^2 + 5)$ $= 4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 10$ $= 2m^2 + 8m - 6$

令 $2m^2 + 8m - 6 = 30$ $2m^2 + 8m - 36 = 0$ $m^2 + 4m - 18 = 0$ $m = -2 \pm \sqrt{22}$

由（1）知 $m \geq 2$，所以 $m = -2 + \sqrt{22}$

答案： $m = -2 + \sqrt{22}$

（3）矩形面积 $S = x_1x_2 = m^2 + 5$

由（1）知 $m \geq 2$，$S = m^2 + 5$ 在 $m \geq 2$ 上单调递增。

所以当 $m = 2$ 时，面积最小，$S_{\min} = 4 + 5 = 9$；面积无最大值（$m$ 越大面积越大）。

九、常见错误与避坑指南

9.1 易错点清单

9.2 解题口诀

一元二次，公式先记：
判别式Δ，b方减4ac；
Δ大于零，两根不相同；
Δ等于零，两根是一样；
Δ小于零，没有实数根。
韦达定理，更神奇：
两根和，负a分之b；
两根积，a分之c。
求解参数，两头查：
先看Δ非负，再代关系式。

十、课后习题参考答案

基础题参考答案

1. $x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$
2. $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 5 = 9 - 40 = -31 < 0$，无实数根
3. $x_1 + x_2 = -\dfrac{5}{3}$，$x_1x_2 = -\dfrac{2}{3}$ $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{-\frac{5}{3}}{-\frac{2}{3}} = \dfrac{5}{2}$

提高题参考答案

1. （1）$\Delta = [-(m+3)]^2 - 4(m+2) = m^2 + 6m + 9 - 4m - 8 = m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 \geq 0$ 当 $m = -1$ 时，$\Delta = 0$，方程有两个相等实根 当 $m \neq -1$ 时，$\Delta > 0$，方程有两个不相等实根 所以原题有误，当 $m = -1$ 时方程有相等实根。正确表述应为"方程总有实数根"。

（2）$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= (m+3)^2 - 2(m+2)$ $= m^2 + 6m + 9 - 2m - 4$ $= m^2 + 4m + 5 = 13$ $m^2 + 4m - 8 = 0$ $m = -2 \pm 2\sqrt{3}$

代入验证：当 $m = -2 + 2\sqrt{3}$ 时，$\Delta = (m+1)^2 = (2\sqrt{3} - 1)^2 > 0$，成立。 当 $m = -2 - 2\sqrt{3}$ 时，$\Delta = (m+1)^2 = (-2\sqrt{3} - 1)^2 > 0$，成立。 所以 $m = -2 \pm 2\sqrt{3}$

挑战题参考答案

1. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= (2m)^2 - 2(m^2 - 3m + 2)$ $= 4m^2 - 2m^2 + 6m - 4$ $= 2m^2 + 6m - 4 = 8$ $2m^2 + 6m - 12 = 0$ $m^2 + 3m - 6 = 0$ $m = \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$ $m$ 为正整数，但 $\dfrac{-3 + \sqrt{33}}{2} \approx \dfrac{-3 + 5.74}{2} \approx 1.37$，不是整数。 $m = 1$ 时，$\Delta = 4 - 4(1 - 3 + 2) = 4 - 0 = 4 > 0$，有实根。 验算：$m = 1$，方程 $x^2 - 2x + 0 = 0$，两根 $0$ 和 $2$。 $x_1^2 + x_2^2 = 0 + 4 = 4 \neq 8$，不成立。

重新检查：令 $m = 2$，$x^2 - 4x + (4 - 6 + 2) = x^2 - 4x + 0 = 0$，两根 $0$ 和 $4$。 $x_1^2 + x_2^2 = 0 + 16 = 16 \neq 8$，不成立。

$m$ 无正整数解，检查原方程：$x^2 - 2mx + m^2 - 3m + 2 = 0$ $\Delta = 4m^2 - 4(m^2 - 3m + 2) = 4m^2 - 4m^2 + 12m - 8 = 12m - 8 \geq 0$，$m \geq \dfrac{2}{3}$ $x_1^2 + x_2^2 = (2m)^2 - 2(m^2 - 3m + 2) = 2m^2 + 6m - 4 = 8$ $2m^2 + 6m - 12 = 0$，$m^2 + 3m - 6 = 0$ $m = \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$，均非正整数。

结论： 不存在满足条件的正整数 $m$。