高一数学：函数单调性与最值——从图像到定义的严格证明

高一数学：函数单调性与最值——从图像到定义的严格证明

一、为什么要研究函数的单调性

函数的性质有很多，其中单调性是最直观、也是最重要的一条。它回答的问题很简单：当自变量变大时，函数值是变大还是变小？天气预报里「气温先升后降」、股市行情里「一路走高」「震荡下行」，本质上都是对单调性的描述。高中数学里，判断方程解的个数、比较大小、求最值、证明不等式，几乎处处都要用到单调性。可以说，单调性是高一函数部分的「心脏」，学懂了它，整个函数章节就活了一半。

二、单调性的严格定义

初中我们只知道「y随x的增大而增大」这种直观说法，高中要把这句话变成可以严格证明的数学语言。

设函数 (f(x)) 的定义域为 (I)，区间 (D \subseteq I)。如果对于 (D) 内任意两个值 (x_1, x_2)，当 (x_1 < x_2) 时，都有 (f(x_1) < f(x_2))，那么就说函数 (f(x)) 在区间 (D) 上是增函数；如果都有 (f(x_1) > f(x_2))，就说 (f(x)) 在区间 (D) 上是减函数。函数在区间 (D) 上是增函数或减函数，就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间 (D) 叫作它的单调区间。

定义里有三个关键词不能忽略。第一，「任意」两个字：必须是区间内所有的 (x_1 < x_2) 都满足，举一两个例子证明不了单调性；第二，「区间」二字：单调性是函数的局部性质，一个函数可以在不同的区间上有不同的增减趋势，比如 (y = x^2) 在 ((-\infty, 0]) 上单调递减，在 ([0, +\infty)) 上单调递增，我们不能笼统地说它「是增函数」或「是减函数」；第三，严格单调要求 (f(x_1)) 与 (f(x_2)) 严格不等，不能出现相等的情况。

三、判断单调性的三种方法

方法一：图像法。这是最直观的方法——函数图像从左往右看，一直上升的就是增函数，一直下降的就是减函数。它适合快速判断、大题草图辅助，但不能作为严格证明的依据。

方法二：定义法。这是证明题的标准方法，步骤固定为「五步曲」：第一步取值，在区间 (D) 内任取 (x_1 < x_2)；第二步作差，计算 (f(x_1) - f(x_2))；第三步变形，把差式分解成因式乘积或配成完全平方；第四步定号，判断差的正负；第五步下结论。其中第三步变形是难点，常用的变形手段有因式分解、通分、有理化、配方。

方法三：复合函数法。对于 (y = f(g(x))) 这样的复合函数，单调性遵循「同增异减」法则：内层函数 (g(x)) 与外层函数 (f(u)) 单调性相同，则复合函数单调递增；单调性相反，则复合函数单调递减。例如 (y = \sqrt{x^2 - 2x - 3})，内层 (u = x^2 - 2x - 3)，外层 (y = \sqrt{u}) 在定义域内单调递增，所以复合函数的单调区间只需看内层二次函数的单调区间，再结合定义域即可。

四、例题精讲：用定义法证明单调性

例题一：证明函数 (f(x) = x + \dfrac{1}{x}) 在区间 ((1, +\infty)) 上是增函数。

证明：任取 (x_1, x_2 \in (1, +\infty))，且 (x_1 < x_2)，则 [ f(x_1) - f(x_2) = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) - \left(x_2 + \frac{1}{x_2}\right) = (x_1 - x_2) + \left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}\right) = (x_1 - x_2)\left(1 - \frac{1}{x_1 x_2}\right) = (x_1 - x_2)\cdot \frac{x_1 x_2 - 1}{x_1 x_2}. ] 因为 (x_1 < x_2)，所以 (x_1 - x_2 < 0)；又 (x_1 > 1)，(x_2 > 1)，所以 (x_1 x_2 > 1)，即 (x_1 x_2 - 1 > 0) 且 (x_1 x_2 > 0)。故 (f(x_1) - f(x_2) < 0)，即 (f(x_1) < f(x_2))。由增函数定义，(f(x)) 在 ((1, +\infty)) 上是增函数。

这道题的变形关键是通分后提取公因式 (x_1 - x_2)，把差式化成一个负因子乘一个正因子的形式，符号一眼可判。

例题二：判断函数 (f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}) 在区间 ((0, 1)) 上的单调性。

解：任取 (0 < x_1 < x_2 < 1)，作差并通分： [ f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1^2 + 1} - \frac{x_2}{x_2^2 + 1} = \frac{(x_2 - x_1)(x_1 x_2 - 1)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}. ] 因为 (x_2 - x_1 > 0)，且 (0 < x_1 x_2 < 1)，所以 (x_1 x_2 - 1 < 0)，分母恒为正，故 (f(x_1) - f(x_2) < 0)，即 (f(x_1) < f(x_2))，函数在 ((0, 1)) 上是增函数。

五、函数的最值

如果函数 (f(x)) 的定义域内存在 (x_0)，使得对于定义域内任意 (x)，都有 (f(x) \le f(x_0))，那么 (f(x_0)) 就叫函数的最大值；类似地，如果都有 (f(x) \ge f(x_0))，(f(x_0)) 就叫最小值。最大值与最小值统称最值。

求最值常用的方法有四类。第一，配方法：对二次函数 (y = ax^2 + bx + c) 配方成顶点式，顶点纵坐标就是最值，但要结合定义域讨论。第二，单调性法：先判断函数在区间上的单调性，最值一定在区间端点取得。第三，图像法：画出图像，最高点与最低点的纵坐标即最值。第四，换元法：对形如 (y = ax + b + \sqrt{cx + d}) 的函数，令 (t = \sqrt{cx + d}) 转化为二次函数求解。

需要特别提醒：函数在开区间上可能没有最值。例如 (y = \dfrac{1}{x}) 在 ((0, +\infty)) 上单调递减，图像无限接近 (x) 轴但永远到不了 0，所以它没有最小值，只能说「下界为 0」。

例题三：求函数 (f(x) = -x^2 + 2x + 3) 在区间 ([0, 3]) 上的最大值与最小值。

解：配方得 (f(x) = -(x - 1)^2 + 4)，对称轴 (x = 1 \in [0, 3])。因为抛物线开口向下，最大值在顶点处取得，(f_{\max} = f(1) = 4)。最小值在离对称轴最远的端点取得，比较 (f(0) = 3) 与 (f(3) = -9 + 6 + 3 = 0)，得 (f_{\min} = f(3) = 0)。

六、增函数与减函数对比表

七、常见错误与避坑

第一个坑：用特殊值代替「任意」。有的同学取 (x = 1)、(x = 2) 两个点验证就下结论，这是错误的，必须用字母代表「任意两个值」作差证明。

第二个坑：忽视定义域。判断单调性、求最值之前，必须先求出定义域，一切讨论都在定义域内进行。例如 (y = \log_2 (x^2 - 4x + 3))，先解 (x^2 - 4x + 3 > 0) 得定义域 ((-\infty, 1) \cup (3, +\infty))，再讨论单调性。

第三个坑：把单调区间写成并集。函数在多个区间上分别单调时，区间之间用逗号或「和」连接，不能用并集符号。例如 (y = \dfrac{1}{x}) 在 ((-\infty, 0)) 和 ((0, +\infty)) 上都单调递减，但不能说它在 ((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)) 上单调递减，因为在定义域内取 (x_1 = -1 < x_2 = 1) 时，(f(x_1) = -1 < f(x_2) = 1)，并不满足减函数定义。

八、课后练习

基础题：用定义法证明函数 (f(x) = 3x + 1) 在 (\mathbb{R}) 上是增函数。

提高题：求函数 (f(x) = x^2 - 4x + 6) 在区间 ([0, 5]) 上的最大值与最小值。

挑战题：已知函数 (f(x) = x + \dfrac{4}{x})（(x > 0)），利用单调性求它的最小值，并说明在何处取得。

参考答案：基础题：任取 (x_1 < x_2)，(f(x_1) - f(x_2) = 3(x_1 - x_2) < 0)，故为增函数。提高题：配方得 ((x - 2)^2 + 2)，最小值 (f(2) = 2)；最大值在端点 (x = 5) 处取得，(f(5) = 11)。挑战题：先证 (f(x)) 在 ((0, 2)) 上单调递减、在 ((2, +\infty)) 上单调递增（定义法作差），故最小值 (f(2) = 4)。