圆的基本性质与定理
一、圆的基本概念
| 概念 | 定义 | 符号/表示 |
|---|---|---|
| 圆心 | 圆的中心点 | O |
| 半径 | 圆心到圆上任意一点的距离 | r |
| 直径 | 过圆心且两端在圆上的线段 | d = 2r |
| 弦 | 连接圆上任意两点的线段 | AB |
| 弧 | 圆上任意两点间的部分 | ⌒AB |
| 圆心角 | 顶点在圆心的角 | ∠AOB |
| 圆周角 | 顶点在圆上，两边与圆相交 | ∠ACB |
二、垂径定理（重要！）
定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知：AB是弦，CD是直径，CD⊥AB于E
结论：AE = BE，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD
应用场景： 求弦长、半径、弦心距
例题： 半径为5的圆中，一条弦长为6，求弦心距。 解：d² = r² - (弦长/2)² = 25 - 9 = 16 d = 4
三、圆周角定理
定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
推论： | 推论 | 内容 | |------|------| | 推论1 | 同弧或等弧所对的圆周角相等 | | 推论2 | 直径所对的圆周角是90° | | 推论3 | 90°的圆周角所对的弦是直径 |
重点： 看到直径，想到90°圆周角！这是中考的常见考点。
四、切线的判定与性质
判定
一条直线是圆的切线，需要满足： 1. 过半径的外端 2. 垂直于这条半径
性质
圆的切线垂直于过切点的半径。
PA是⊙O的切线
→ PA⊥OA（A为切点）
五、圆与三角形的关系
| 名称 | 定义 | 圆心位置 |
|---|---|---|
| 外接圆 | 过三角形三个顶点的圆 | 外心（三边中垂线交点） |
| 内切圆 | 与三角形三边都相切的圆 | 内心（三角平分线交点） |
六、中考常见题型
- 求角度：利用圆周角定理、圆心角定理
- 求长度：利用垂径定理、勾股定理
- 证明切线：利用切线的判定定理
- 求面积：扇形面积公式 S = (n/360)πr²