指数与对数运算
一、指数运算
整数指数幂： - aⁿ = a × a × ... × a（n个a相乘） - a⁰ = 1（a ≠ 0） - a⁻ⁿ = 1/aⁿ
分数指数幂： - a^(m/n) = ⁿ√aᵐ - a^(1/2) = √a
运算法则： | 法则 | 公式 | |------|------| | 同底相乘 | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | | 同底相除 | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | | 幂的乘方 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | | 积的乘方 | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ |
二、对数
定义： 如果 aˣ = N（a > 0, a ≠ 1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = logₐN
两个重要对数： - 常用对数：lg N = log₁₀N - 自然对数：ln N = logₑN（e ≈ 2.71828）
基本性质： | 公式 | 说明 | |------|------| | logₐ1 = 0 | 任何底数的0次方都等于1 | | logₐa = 1 | 任何底数的1次方等于自身 | | a^(logₐN) = N | 对数恒等式 |
三、对数运算法则
| 法则 | 公式 |
|---|---|
| 积的对数 | logₐ(MN) = logₐM + logₐN |
| 商的对数 | logₐ(M/N) = logₐM - logₐN |
| 幂的对数 | logₐMⁿ = n · logₐM |
| 换底公式 | logₐb = log_c b / log_c a |
换底公式非常重要！ 考试经常用到，特别是换成常用对数或自然对数。
四、对数函数
y = logₐx（a > 0, a ≠ 1）
| 比较 | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| 图像 | 上升曲线 | 下降曲线 |
| 定义域 | (0, +∞) | (0, +∞) |
| 值域 | (-∞, +∞) | (-∞, +∞) |
| 定点 | (1, 0) | (1, 0) |
五、真题示例
计算： log₂8 + lg100 + ln e² 解：log₂8 = 3（因为2³=8） lg100 = 2（因为10²=100） ln e² = 2（因为ln e² = 2ln e = 2） 结果：3 + 2 + 2 = 7