二次函数图像与性质精讲

适用于初三数学课本同步学习

二次函数是中考数学的核心考点，也是连接初中和高中数学的重要桥梁。本文将带你系统掌握二次函数的图像特征和性质。

一、二次函数的基本形式

1. 一般式

$$y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$

2. 顶点式

$$y = a(x - h)^2 + k \quad \text{顶点为}(h, k)$$

其中 $h = -\dfrac{b}{2a}$, $k = \dfrac{4ac - b^2}{4a}$

3. 交点式（两根式）

$$y = a(x - x_1)(x - x_2) \quad \text{其中}x_1, x_2\text{为抛物线与}x\text{轴的交点}$$

二、二次函数的图像特征

抛物线的基本要素

要素	含义	公式/说明
开口方向	a > 0 向上，a < 0 向下	由a决定
顶点	抛物线的最高点或最低点	$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$
对称轴	过顶点垂直于x轴的直线	$x = -\frac{b}{2a}$
与y轴交点	令x=0	$(0, c)$
与x轴交点	令y=0，解一元二次方程	由$\Delta = b^2-4ac$决定
最值	顶点处的函数值	a>0时有最小值，a<0时有最大值

二次函数图像速查表

a的符号	开口	顶点位置(b符号)	图像特征
a > 0	向上	b > 0 → 顶点在y轴左侧	开口向上的U形
a > 0	向上	b = 0 → 顶点在y轴上	关于y轴对称
a > 0	向上	b < 0 → 顶点在y轴右侧	开口向上的U形
a < 0	向下	b > 0 → 顶点在y轴右侧	开口向下的倒U形
a < 0	向下	b = 0 → 顶点在y轴上	关于y轴对称
a < 0	向下	b < 0 → 顶点在y轴左侧	开口向下的倒U形

三、系数a、b、c对图像的影响

a的决定作用

|a|越大，抛物线开口越窄（图像越陡）
|a|越小，抛物线开口越宽（图像越平缓）

示例：比较 $y=2x^2$、$y=x^2$、$y=\frac{1}{2}x^2$ - y=2x²：开口最窄 - y=x²：中等 - y=½x²：开口最宽

b的联动作用

对称轴公式：$x = -\dfrac{b}{2a}$

左同右异规律： - 若a、b同号 → 对称轴在y轴左侧 - 若a、b异号 → 对称轴在y轴右侧 - 若b=0 → 对称轴为y轴

c的截距作用

c是抛物线与y轴交点的纵坐标： - c > 0 → 交点在y轴正半轴 - c = 0 → 过原点 - c < 0 → 交点在y轴负半轴

四、三种解析式的互化

一般式 → 顶点式（配方法）

示例：将 $y=2x^2-4x+5$ 化为顶点式

步骤： 1. 提公因式：$y=2(x^2-2x)+5$ 2. 配方：$y=2[(x^2-2x+1)-1]+5$ 3. 整理：$y=2(x-1)^2+3$

结果：顶点为(1, 3)，对称轴为x=1

顶点式 → 一般式

示例：将 $y=3(x-2)^2-1$ 化为一般式

步骤： 1. 展开平方：$y=3(x^2-4x+4)-1$ 2. 去括号：$y=3x^2-12x+12-1$ 3. 合并：$y=3x^2-12x+11$

五、典型例题

例题1

已知二次函数 $y = -x^2 + 4x - 3$

求：(1)顶点坐标和对称轴
(2)与x轴、y轴的交点坐标
(3)当x取何值时，y随x增大而增大？

解： (1) $a=-1, b=4, c=-3$ - $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2\times(-1)} = 2$ - $k = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4\times(-1)\times(-3)-16}{4\times(-1)} = \frac{12-16}{-4} = 1$ - 顶点：(2, 1)，对称轴：$x=21$

(2) 与y轴交点：令x=0，y=-3，即(0, -3)
与x轴交点：令y=0，$-x^2+4x-3=0$
$x^2-4x+3=0$，$(x-1)(x-3)=0$
$x_1=1, x_2=3$ → (1, 0)和(3, 0)

(3) a=-1 < 0，开口向下，对称轴x=2
当x < 2时，y随x增大而增大

例题2

已知二次函数顶点为(1, -2)，且过点(3, 2)，求解析式。

解：设顶点式 $y=a(x-1)^2-2$
代入(3, 2)：$2 = a(3-1)^2-2$
$2 = 4a-2$
$4a = 4$
$a = 1$

∴ 解析式为 $y=(x-1)^2-2$
化为一般式：$y=x^2-2x-1$

六、趣味练习

练习1：看图猜系数

已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的图像特点如下，请判断a、b、c的符号：

抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴
抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，过原点

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1. a>0（开口向上），b<0（左同右异中，a>0且对称轴在右侧→b<0），c>0（与y轴正半轴相交） 2. a<0（开口向下），b<0（a<0且对称轴在左侧→b<0），c=0（过原点）

练习2：填空

抛物线 $y=2(x-3)^2+4$ 的顶点坐标是__，对称轴是____。
在 $y=x^2+2x-3$ 中，当x=__时，y有最__值为______。