对数函数及其性质
一、知识点讲解
1. 对数的定义
如果 $a^x = N$（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$），那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作：
$$x = \log_a N$$
其中，$a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。
| 重要概念 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
| 常用对数 | 以10为底的对数 | $\lg 100 = 2$（因为 $10^2 = 100$） |
| 自然对数 | 以 $e$ 为底的对数 | $\ln e = 1$（因为 $e^1 = e$） |
| 零和负数 | 真数必须大于0 | $\log_2(-4)$ 无意义 |
| $\log_a 1$ | 任何底数的对数等于0 | $\log_5 1 = 0$ |
| $\log_a a$ | 底数与真数相等等于1 | $\log_7 7 = 1$ |
2. 对数函数定义
形如 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做对数函数，其中 $x$ 是自变量，定义域为 $(0, +\infty)$。
3. 对数函数的图像与性质
| 性质 | $a > 1$ | $0 < a < 1$ |
|---|---|---|
| 图像 | 增函数（从左到右上升） | 减函数（从左到右下降） |
| 定义域 | $(0, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| 值域 | $R$ | $R$ |
| 过定点 | $(1, 0)$ | $(1, 0)$ |
| 单调性 | 在 $(0, +\infty)$ 上递增 | 在 $(0, +\infty)$ 上递减 |
| $x > 1$ 时 | $y > 0$ | $y < 0$ |
| $0 < x < 1$ 时 | $y < 0$ | $y > 0$ |
图像特点记忆口诀：
底大图升一右侧，底小图降一左侧； 图像恒过(1,0)点，x轴上方看底择。
二、经典例题
例1：求定义域
求函数 $f(x) = \log_2(x^2 - 3x + 2)$ 的定义域。
解： 要使函数有意义，需满足： $$x^2 - 3x + 2 > 0$$ $$(x - 1)(x - 2) > 0$$ $$x < 1 \text{ 或 } x > 2$$
所以定义域为 $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$。
例2：比较大小
比较下列各组数的大小： (1) $\log_2 3$ 与 $\log_2 5$ (2) $\log_{0.5} 3$ 与 $\log_{0.5} 5$
解： (1) 底数 $2 > 1$，对数函数 $y = \log_2 x$ 单调递增。 因为 $3 < 5$，所以 $\log_2 3 < \log_2 5$
(2) 底数 $0.5 < 1$，对数函数 $y = \log_{0.5} x$ 单调递减。 因为 $3 < 5$，所以 $\log_{0.5} 3 > \log_{0.5} 5$
例3：对数运算
计算：$\log_2 8 + \log_3 27 - \log_5 1$
解： $\log_2 8 = 3$（因为 $2^3 = 8$） $\log_3 27 = 3$（因为 $3^3 = 27$） $\log_5 1 = 0$
原式 $= 3 + 3 - 0 = 6$
三、对数的运算法则
| 运算法则 | 公式 | 示例 |
|---|---|---|
| 积的对数 | $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ | $\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$ |
| 商的对数 | $\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ | $\lg 100 - \lg 10 = \lg 10 = 1$ |
| 幂的对数 | $\log_a M^n = n\log_a M$ | $\lg 1000 = 3\lg 10 = 3$ |
| 换底公式 | $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ | $\log_2 3 = \frac{\lg 3}{\lg 2}$ |
四、趣味练习
练习1：快速判断
判断下列函数是否为对数函数：
(1) $y = \log_2 x$ → _
(2) $y = \log{x^2} 3$ → _
(3) $y = 2\log3 x$ → _
(4) $y = \log2(x + 1)$ → ____
练习2：生活中的对数 地震的震级 $M$ 与释放的能量 $E$（单位：焦耳）之间的关系为： $$\lg E = 4.8 + 1.5M$$
已知一次8级地震的能量约为一次6级地震能量的多少倍？
提示：设8级地震能量为 $E_8$，6级地震能量为 $E_6$，利用对数运算求解。
参考答案： 练习1：(1)是 (2)否 (3)否 (4)否
练习2： 由 $\lg E = 4.8 + 1.5M$，得： $\lg E_8 = 4.8 + 1.5 \times 8 = 16.8$ $\lg E_6 = 4.8 + 1.5 \times 6 = 13.8$ $\lg\frac{E_8}{E_6} = 16.8 - 13.8 = 3$ $\frac{E_8}{E_6} = 10^3 = 1000$
所以8级地震释放的能量约为6级地震的1000倍！
五、课后作业
一、基础题（每题10分，共40分）
- 求函数 $y = \log_{0.5}(3x - 1)$ 的定义域。
- 计算：$\log_4 64 + \log_3 81 - \log_{0.2} 1$
- 比较大小：$\log_3 2$ 与 $\log_3 1.5$
- 化简：$\lg 50 - \lg 5$
二、提升题（每题15分，共30分）
- 已知 $\log_2 3 = a$，$\log_2 5 = b$，试用 $a$、$b$ 表示 $\log_2 30$。
- 已知函数 $f(x) = \log_a(x - 1)$ 的图像过点 $(3, 1)$，求 $a$ 的值，并判断 $f(x)$ 的单调性。
三、拓展题（30分）
- 已知 $\log_a 2 = m$，$\log_a 3 = n$，求 $a^{2m + n}$ 的值。
课堂小结： 学习对数函数的关键是掌握其定义、图像特征和运算法则。记住"底数大于1递增，底数小于1递减"这一核心性质，学会运用换底公式解决各类问题。