高一数学：三角函数的图像与性质
适用于高一数学课本同步学习 | 📐 三角函数是高中数学的核心内容之一，掌握其图像与性质是解决三角函数综合问题的基础。
一、基本概念回顾
任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(x, y)$，$r = |OP| = \sqrt{x^2 + y^2}$，则：
$$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$$
单位圆中的三角函数
单位圆是半径为1的圆，其圆心在原点。在单位圆中，角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$。
| 角 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | 不存在 |
| $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | 不存在 |
| $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ |
二、三角函数的图像
正弦函数 $y = \sin x$
正弦函数的图像称为正弦曲线，形状像波浪，在区间 $[0, 2\pi]$ 内的一个完整波形如下：
五点作图法：在一个周期 $[0, 2\pi]$ 内选取五个关键点：
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
💡 记忆口诀：正弦曲线波浪形，过原点向上行，最高最低周期定。
余弦函数 $y = \cos x$
余弦函数的图像称为余弦曲线，与正弦曲线形状相同，但向左平移了 $\frac{\pi}{2}$。
五点作图法：
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
💡 记忆口诀：余弦曲线像正弦，只是起点比它高。
正切函数 $y = \tan x$
正切函数的图像称为正切曲线，与正弦、余弦不同，它有渐近线和间断点。
五点作图法（一个周期 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内）：
| $x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{3}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
⚠️ 注意：正切函数在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处无定义，图像在这些位置有垂直渐近线。
三、三角函数的性质
三大函数性质对比表
| 性质 | $y = \sin x$ | $y = \cos x$ | $y = \tan x$ |
|---|---|---|---|
| 定义域 | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | ${x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}}$ |
| 值域 | $[-1, 1]$ | $[-1, 1]$ | $\mathbb{R}$ |
| 周期 | $2\pi$ | $2\pi$ | $\pi$ |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| 对称轴 | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $x = k\pi$ | 无 |
| 对称中心 | $(k\pi, 0)$ | $(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0)$ | $(\frac{k\pi}{2}, 0)$ |
| 单调递增区间 | $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ | $[-\pi + 2k\pi, 2k\pi]$ | $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ |
| 单调递减区间 | $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$ | $[2k\pi, \pi + 2k\pi]$ | 无 |
| 最大值 | $1$ | $1$ | 无 |
| 最小值 | $-1$ | $-1$ | 无 |
重点性质详解
1. 周期性
三角函数是典型的周期函数。周期公式：
$$T_{\sin} = T_{\cos} = 2\pi, \quad T_{\tan} = \pi$$
对于一般形式 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$： $$T = \frac{2\pi}{|\omega|}$$
2. 奇偶性
- $\sin(-x) = -\sin x$ → 奇函数，图像关于原点对称
- $\cos(-x) = \cos x$ → 偶函数，图像关于 $y$ 轴对称
- $\tan(-x) = -\tan x$ → 奇函数
3. 有界性
$-1 \leq \sin x \leq 1$，$-1 \leq \cos x \leq 1$
这一性质常用于求三角函数的最值问题。
四、三角函数图像的变换
从 $y = \sin x$ 到 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$
五个参数对应五种变换：
| 参数 | 变换类型 | 变换效果 | 示例 |
|---|---|---|---|
| $A$ | 振幅变换 | 纵坐标伸长($A>1$)或缩短($0<A<1$) | $y=2\sin x$ 振幅为2 |
| $\omega$ | 周期变换 | 横坐标缩短($\omega>1$)或伸长($0<\omega<1$) | $y=\sin 2x$ 周期为$\pi$ |
| $\varphi$ | 相位变换 | 向左($\varphi>0$)或向右($\varphi<0$)平移 | $y=\sin(x+\frac{\pi}{3})$ 左移$\frac{\pi}{3}$ |
| $B$ | 上下平移 | 向上($B>0$)或向下($B<0$)平移 | $y=\sin x+1$ 上移1个单位 |
⚠️ 易错点：平移变换的顺序很重要！先平移后伸缩与先伸缩后平移，平移量不同： - 先平移 $\varphi$，再伸缩 $\omega$：平移量为 $\varphi$ - 先伸缩 $\omega$，再平移 $\varphi$：平移量为 $\frac{\varphi}{\omega}$
典型例题
例题1：求函数 $y = 3\sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 的周期、振幅、初相。
解： - $A = 3$，振幅为3 - $\omega = 2$，周期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ - $\varphi = -\frac{\pi}{3}$，初相为 $-\frac{\pi}{3}$
例题2：求函数 $y = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ 的最大值和最小值。
解： 运用辅助角公式： $$y = \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$
所以 $-2 \leq y \leq 2$，最大值为2，最小值为$-2$。
五、典型题型与解题策略
题型一：求三角函数的定义域
策略：解关于 $\sin x$ 或 $\cos x$ 的不等式组。
例题：求函数 $y = \sqrt{2\sin x - 1}$ 的定义域。
解：$\sqrt{2\sin x - 1} \geq 0 \Rightarrow \sin x \geq \frac{1}{2}$ 在 $[0, 2\pi]$ 内，$\sin x \geq \frac{1}{2}$ 的解为 $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ 所以定义域为 $[ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ], k \in \mathbb{Z}$
题型二：求三角函数的值域
策略：利用三角函数的有界性，结合二次函数等方法。
例题：求函数 $y = \cos^2 x + \sin x + 1$ 的值域。
解：利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 转化为二次函数： $$y = 1 - \sin^2 x + \sin x + 1 = -\sin^2 x + \sin x + 2$$ 设 $t = \sin x$，$t \in [-1, 1]$： $$y = -t^2 + t + 2 = -(t^2 - t) + 2 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$$ 所以值域为 $[0, \frac{9}{4}]$。
题型三：确定函数的单调区间
策略：将 $\omega x + \varphi$ 视为整体 $u$，利用 $\sin u$ 的单调区间。
例题：求函数 $y = \sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$ 的单调递增区间。
解： $y = \sin(\frac{\pi}{3} - 2x) = -\sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 求 $y$ 的递增区间即求 $\sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 的递减区间： $$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$ $$\frac{5\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{12} + k\pi$$
所以单调递增区间为 $[\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi], k \in \mathbb{Z}$。
六、趣味练习
练习1：图像识别
下列函数分别对应什么图像？ 1. $y = \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 2. $y = 2\sin x$ 3. $y = \sin 2x$
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1. 标准正弦波，最高点1，最低点$-1$，周期 $2\pi$ 2. 振幅翻倍，最高点2，最低点$-2$，周期不变 3. 频率加倍，周期变为 $\pi$，振幅不变练习2：判断正误
- $\sin x$ 是偶函数。（ ）
- $\tan x$ 在定义域内单调递增。（ ）
- 函数 $y = \sin x$ 的对称轴为 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。（ ）
- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$。（ ）
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1. **×** —— $\sin(-x) = -\sin x$，是奇函数。 2. **×** —— 在每个连续区间 $(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi)$ 内单调递增，但不能说在整个定义域内递增（因为有间断点）。 3. **✓** —— 正弦函数的对称轴为 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。 4. **✓** —— 这是三角函数的基本恒等式。练习3：求值
已知 $\sin\theta = \frac{3}{5}$，$\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，求 $\cos\theta$ 和 $\tan\theta$。
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由 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 得： $$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ 因为 $\theta$ 在第二象限，$\cos\theta < 0$，所以 $\cos\theta = -\frac{4}{5}$。 $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$七、课后作业
基础题
- 用五点作图法画出 $y = \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的简图。
- 求函数 $y = \cos(2x - \frac{\pi}{4})$ 的周期和最大值、最小值。
- 判断函数 $y = \sin x \cdot \cos x$ 的奇偶性。
提高题
- 已知函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x$，求 $f(x)$ 的值域和最小正周期。
- 求函数 $y = \sin^2 x - 2\sin x + 2$ 的值域（提示：换元法）。
- 设 $f(x) = A\sin(\omega x + \varphi) + B$（$A > 0, \omega > 0$）的最大值为3，最小值为$-1$，周期为 $\pi$，且图像过点 $(0, 1)$，求 $f(x)$ 的解析式。
综合题
- 已知函数 $f(x) = 2\sin(\omega x + \frac{\pi}{4})$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上恰有两个最大值点，求 $\omega$ 的取值范围。
- 建造一个截面为半圆形的花坛，直径为5米，靠墙摆放一个矩形盆栽架，矩形的一边在直径上，另两个顶点在圆弧上。求矩形面积的最大值。
💡 高考提示：三角函数的图像与性质是高考必考内容，选择填空常考单调性、周期、对称性，大题常与三角恒等变换、解三角形综合考查。熟练掌握"五点作图法"和图像变换规律，是解题的关键。