初三数学：锐角三角函数——正弦、余弦、正切

一、知识点精讲

（一）锐角三角函数的定义

在直角三角形中，对于一个锐角 ( \angle A )，我们定义三个基本三角函数：

函数名称	定义（比值）	英文缩写	表达式
正弦	(\frac{\text{对边}}{\text{斜边}})	sin	(\sin A = \frac{a}{c})
余弦	(\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}})	cos	(\cos A = \frac{b}{c})
正切	(\frac{\text{对边}}{\text{邻边}})	tan	(\tan A = \frac{a}{b})

其中，(a) 是 (\angle A) 的对边，(b) 是 (\angle A) 的邻边，(c) 是斜边。

记忆口诀

"对斜正，邻余正对邻" - 正弦（sin）= 对边 ÷ 斜边 - 余弦（cos）= 邻边 ÷ 斜边 - 正切（tan）= 正对 ÷ 邻

（二）特殊角的三角函数值

角度	( \sin )	( \cos )	( \tan )
(30^\circ)	(\frac{1}{2})	(\frac{\sqrt{3}}{2})	(\frac{\sqrt{3}}{3})
(45^\circ)	(\frac{\sqrt{2}}{2})	(\frac{\sqrt{2}}{2})	(1)
(60^\circ)	(\frac{\sqrt{3}}{2})	(\frac{1}{2})	(\sqrt{3})

规律总结

观察上表可发现： 1. (\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2})（互余关系） 2. (\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}) 3. 角度增大时，(\sin) 递增，(\cos) 递减，(\tan) 递增

（三）三个重要关系式

关系类型	公式
平方关系	(\sin^2 A + \cos^2 A = 1)
商数关系	(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A})
互余关系	(\sin(90^\circ - A) = \cos A)

🎓 记忆技巧： 平方关系类似勾股定理的变形——对边² + 邻边² = 斜边²，两边同除以斜边²即得。

二、经典例题

💡 例题1：基础计算——已知两边求三角函数值

如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求 \(\sin A\)、\(\cos A\)、\(\tan A\)。 **解：** 先求斜边 AB： \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \] 三边关系：\(a = BC = 4（∠A 对边）\)，\(b = AC = 3（∠A 邻边）\)，\(c = AB = 5（斜边）\) \[ \sin A = \frac{a}{c} = \frac{4}{5} = 0.8 \] \[ \cos A = \frac{b}{c} = \frac{3}{5} = 0.6 \] \[ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \] **验证：** \(\sin^2 A + \cos^2 A = 0.64 + 0.36 = 1\)✓

💡 例题2：特殊角求值

计算：\(\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ - \tan 45^\circ\) **解：** \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1 \] \[ 原式 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \] **注意：** \(\sin^2 30^\circ\) 表示 \((\sin 30^\circ)^2\)，要先求 sine 值再平方！

💡 例题3：实际应用——测量高度

小明想测量学校旗杆的高度。他站在离旗杆底部 10 米处，测得视线与水平方向的夹角（仰角）为 30°，已知小明的眼睛离地面 1.6 米，求旗杆的高度。（结果保留根号） **解：** 设旗杆顶部到小明眼睛水平线的垂直距离为 \(h\) 米。在直角三角形中： - 水平距离（邻边）= 10 米 - 仰角 = 30° - 对边 = \(h\) \[ \tan 30^\circ = \frac{h}{10} \] \[ h = 10 \times \tan 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \] 旗杆高度 = \(h + 1.6 = \frac{10\sqrt{3}}{3} + 1.6\)（米） \[ \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx \frac{10 \times 1.732}{3} \approx 5.77 \] 旗杆高度 ≈ 5.77 + 1.6 = **7.37 米**

三、趣味练习

🎯 闯关游戏：三角函数小镇大冒险

### 第一关：识图填空根据下图（Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，BC=5，AC=12），填空： 1. \(\sin A = \underline{\qquad\qquad}\)（\(\frac{5}{13}\)） 2. \(\cos A = \underline{\qquad\qquad}\)（\(\frac{12}{13}\)） 3. \(\tan B = \underline{\qquad\qquad}\)（\(\frac{12}{5}\)）

✅ 查看答案

1. sin A = 5/13 2. cos A = 12/13 3. tan B = 12/5（注意：tan B 中 ∠B的对边是AC=12，邻边是BC=5）

### 第二关：速算接力完成以下计算： 1. \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \) 2. \(\tan 30^\circ \times \tan 60^\circ = \) 3. \(\sin 60^\circ - \cos 30^\circ = \)

✅ 查看答案

1. \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) 2. \(\frac{\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3} = 1\) 3. \(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0\)

### 第三关：生活应用一架梯子长 5 米，斜靠在一面墙上。如果梯子与地面的夹角为 60°，求梯子顶端离地面的高度，以及梯子底部离墙角的距离。

✅ 查看答案

- 高度 = 5 × sin 60° = 5 × √3/2 ≈ 4.33 米 - 底距 = 5 × cos 60° = 5 × 1/2 = 2.5 米

四、课后作业

基础题（★★☆☆☆）

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 (\sin A)、(\cos A)、(\tan A)。
计算：
(1) (\sin 30^\circ \times \cos 60^\circ)
(2) (\tan^2 45^\circ + \sin^2 30^\circ)

提高题（★★★☆☆）

已知 (\sin A = \frac{3}{5})，且 (0^\circ < A < 90^\circ)，求 (\cos A) 和 (\tan A) 的值。
如图，楼房 CD 高 20 米，在楼顶 C 处测得地面 A 点的俯角为 30°。求 A 点与楼底 D 的距离。

挑战题（★★★★☆）

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，(\sin A = \frac{2}{3})，求 (\tan A) 的值。
提示：先设 a=2k，c=3k，用勾股定理求 b。
证明：对于任意锐角 (A)，有 (\sin A < \tan A)，并说明此时 (\cos A) 的取值范围。

五、进阶知识拓展

（四）解直角三角形的常见模型

在实际应用中，解直角三角形的问题可以归纳为以下几种常见模型：

模型一：底边和仰角求高

        A（观测点）
       /|
      / | h（高度）
     /  |
    /θ  |
   B────C
      d（水平距离）

公式：( h = d \times \tan\theta )

模型二：高和俯角求距离

    A（高处观测点）
    |\
    | \ θ（俯角）
  h |  \
    |   \
    |    \
    C────B（地面目标）
       d

公式：( d = h \times \tan(90^\circ - \theta) = h \times \cot\theta )

模型三：两次测量求不可到达处高度

        A
       /|\
    h1 / | \ h2
     /  |  \
    /θ1 |θ2 \
   B────D────C
      d1   d2

已知两个观测点和高度差，求目标物高度。

（五）三角函数在实际生活中的应用

1. 坡度问题

坡度（坡比）( i = \tan\alpha )，其中 (\alpha) 是坡面与水平面的夹角。

实例： 某山路坡度为 1:3（即 (\tan\alpha = \frac{1}{3})），求坡度角 (\alpha)。解： (\alpha = \arctan\frac{1}{3} \approx 18.43^\circ)

2. 方向角问题

方向角是指从正北或正南方向到目标方向所夹的锐角。

方向	表示法	方向角
东北方向	北偏东45°	45°
东南方向	南偏东45°	45°
西北方向	北偏西45°	45°

3. 航海问题

轮船航行中常用方位角表示航线，通过三角函数计算距离和位置。

（六）利用计算器求三角函数值

在实际计算中，我们常使用计算器求任意锐角的三角函数值：

操作	按键顺序	示例
求 sin	sin → 角度 → =	sin 37° ≈ 0.6018
求 cos	cos → 角度 → =	cos 53° ≈ 0.6018
求 tan	tan → 角度 → =	tan 25° ≈ 0.4663

注意： 计算器需设置为"度"（DEG）模式，而非弧度（RAD）模式。

六、经典例题（续）

💡 例题4：坡度与三角函数

如图，在山坡上有一棵大树，小明在山脚 A 处测得树顶 C 的仰角为 30°，沿着斜坡向上走 50 米到达 B 处，测得树顶 C 的仰角为 45°。已知斜坡的坡度为 1:2（\(\tan\alpha = \frac{1}{2}\)），求大树的高度。 **解：** 设大树高度为 \(h\) 米。在 A 处：\(\tan 30^\circ = \frac{h}{d_A}\)，其中 \(d_A\) 是 A 到树底的水平距离 \[ d_A = \frac{h}{\tan 30^\circ} = h\sqrt{3} \] 在 B 处：先求 B 相对于 A 的水平和垂直位移斜坡坡度 1:2，沿斜坡走 50 米： - 水平位移 = \(50 \times \cos\alpha\) - 垂直位移 = \(50 \times \sin\alpha\) 由 \(\tan\alpha = \frac{1}{2}\) 得： \[ \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \] 水平位移 = \(50 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = 20\sqrt{5}\) 米垂直位移 = \(50 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}\) 米在 B 处： \[ \tan 45^\circ = \frac{h - 10\sqrt{5}}{d_A - 20\sqrt{5}} = 1 \] \[ h - 10\sqrt{5} = h\sqrt{3} - 20\sqrt{5} \] \[ h - h\sqrt{3} = 10\sqrt{5} - 20\sqrt{5} \] \[ h(1 - \sqrt{3}) = -10\sqrt{5} \] \[ h = \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{10\sqrt{5}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 5\sqrt{5}(\sqrt{3} + 1) \] 大树高度约 \(5 \times 2.236 \times (1.732 + 1) \approx 30.54\) 米。

💡 例题5：航海方向问题

一艘轮船从港口 O 出发，沿北偏东 30° 方向航行 20 海里到达 A 处，然后改变航向，沿北偏西 60° 方向航行 30 海里到达 B 处。求 B 处相对于港口 O 的位置。 **解：** 第一步：建立坐标系，以 O 为原点，正东为 x 轴正方向，正北为 y 轴正方向。 A 点坐标： \[ x_A = 20 \times \sin 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \] \[ y_A = 20 \times \cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \] B 点相对于 A 的位移：北偏西 60°，即与正北方向夹角为 60° 向西。 \[ \Delta x = -30 \times \sin 60^\circ = -30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -15\sqrt{3} \] \[ \Delta y = 30 \times \cos 60^\circ = 30 \times \frac{1}{2} = 15 \] B 点坐标： \[ x_B = 10 - 15\sqrt{3} \approx 10 - 25.98 = -15.98 \] \[ y_B = 10\sqrt{3} + 15 \approx 17.32 + 15 = 32.32 \] B 到 O 的距离： \[ OB = \sqrt{(-15.98)^2 + (32.32)^2} \approx \sqrt{255.36 + 1044.58} = \sqrt{1299.94} \approx 36.06 \] 方向角： \[ \tan\theta = \frac{|x_B|}{y_B} = \frac{15.98}{32.32} \approx 0.4944 \] \[ \theta \approx 26.3^\circ \] **答案：** B 处位于港口 O 的北偏西约 26.3°，距离约 36.1 海里。

七、趣味练习（续）

🎯 第四关：测量实战

完成下面的测量计算题： #### 题目：测量教学楼的宽度小华和小明想测量学校教学楼的宽度。他们站在教学楼的两侧，相距 50 米。 - 小华测得与教学楼正面法线的夹角为 40° - 小明测得与教学楼正面法线的夹角为 30° 求教学楼的宽度。（提示：可将问题转化为直角三角形，\(\tan 40^\circ \approx 0.8391\)，\(\tan 30^\circ \approx 0.5774\)）

✅ 查看答案

设教学楼宽为 \(w\)，小华到墙的距离为 \(d_1\)，小明到墙的距离为 \(d_2\)。 \[ \tan 40^\circ = \frac{w}{d_1}, \quad \tan 30^\circ = \frac{w}{d_2} \] \[ d_1 = \frac{w}{\tan 40^\circ}, \quad d_2 = \frac{w}{\tan 30^\circ} \] \[ d_1 + d_2 = 50 \] \[ \frac{w}{0.8391} + \frac{w}{0.5774} = 50 \] \[ w(1.1918 + 1.7319) = 50 \] \[ w \times 2.9237 = 50 \] \[ w \approx 17.10 \text{ 米} \]

🎯 第五关：综合应用题

#### 题目：旗杆的测量小明通过两次测量确定旗杆的高度： 1. 在距离旗杆底部 15 米处，仰角为 32°（\(\tan 32^\circ \approx 0.6249\)） 2. 再向前走 5 米，仰角为 42°（\(\tan 42^\circ \approx 0.9004\)）已知小明的眼睛距地面 1.6 米，求旗杆高度。

✅ 查看答案

设旗杆高度为 \(h\) 米。第一次测量：\(\tan 32^\circ = \frac{h - 1.6}{15}\) \[ h - 1.6 = 15 \times 0.6249 = 9.3735 \] 两次结果取平均值：第二次测量：\(\tan 42^\circ = \frac{h - 1.6}{10}\) \[ h - 1.6 = 10 \times 0.9004 = 9.004 \] 取平均：\(h - 1.6 = \frac{9.3735 + 9.004}{2} = 9.18875\) 旗杆高度：\(h = 9.18875 + 1.6 \approx 10.79\) 米

八、课后作业（续）

综合应用题

某人从山脚出发，以每分钟 50 米的速度沿坡度为 1:(\sqrt{3}) 的山路向上走，走了 20 分钟到达山顶。求山的高度。
如图，一艘船从港口出发向东航行，到达 A 处后测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向，继续航行 20 海里到达 B 处，测得灯塔 C 在北偏东 60° 方向。求港口到灯塔 C 的距离。
一个楼梯与水平面的夹角为 55°，楼梯长度为 5 米。请问：
(1) 楼梯的高度是多少？
(2) 楼梯的水平跨度是多少？（参考数据：(\sin 55^\circ \approx 0.8192)，(\cos 55^\circ \approx 0.5736)）

初三(数学): 锐角三角函数——正弦、余弦、正切

初三数学：锐角三角函数——正弦、余弦、正切

一、知识点精讲

（一）锐角三角函数的定义

记忆口诀

（二）特殊角的三角函数值

规律总结

（三）三个重要关系式

二、经典例题

三、趣味练习

四、课后作业

基础题（★★☆☆☆）

提高题（★★★☆☆）

挑战题（★★★★☆）

五、进阶知识拓展

（四）解直角三角形的常见模型

模型一：底边和仰角求高

模型二：高和俯角求距离

模型三：两次测量求不可到达处高度

（五）三角函数在实际生活中的应用

1. 坡度问题

2. 方向角问题

3. 航海问题

（六）利用计算器求三角函数值

六、经典例题（续）

七、趣味练习（续）

八、课后作业（续）

综合应用题