初二(数学): 平行四边形判定定理与性质综合应用

一、知识点讲解

平行四边形是初二几何的核心内容之一。掌握它的性质和判定定理，是解决几何证明题和计算题的基础。

1. 平行四边形的定义

定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

用符号"▱ABCD"表示平行四边形ABCD，顶点按顺序书写。

2. 平行四边形的性质（4条核心性质）

3. 平行四边形的判定定理（5种判定方法）

4. 三角形的中位线

定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

二、典型例题精讲

例题1：性质综合应用

如图，在▱ABCD中，∠A比∠B大50°，求▱ABCD各内角的度数。

解： ∵ ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC（对边平行） ∴ ∠A + ∠B = 180°（邻角互补） 设∠B = x°，则∠A = (x+50)° ∴ x + (x+50) = 180 2x = 130 x = 65 ∴ ∠B = ∠D = 65°，∠A = ∠C = 115°

例题2：判定定理应用

如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。

证明： 连接BD，交AC于点O。 ∵ ABCD是平行四边形 ∴ AO = CO，BO = DO（对角线互相平分） ∵ AE = CF ∴ AO - AE = CO - CF，即EO = FO 又∵ BO = DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

例题3：中位线应用

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，求DE的长。

解： ∵ D、E分别是AB、AC的中点 ∴ DE是△ABC的中位线 ∴ DE ∥ BC 且 DE = ½BC ∴ DE = ½ × 10 = 5cm

三、知识表格汇总

平行四边形与特殊平行四边形的对比

证明思路总结

四、趣味练习

五、课后作业

A级——基础巩固

1. 已知▱ABCD中，AB=6，BC=4，求▱ABCD的周长。
2. 一个平行四边形的一个内角是60°，求其余三个内角的度数。

B级——能力提升

1. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。
2. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=16，BD=12，求△AOB的周长（AB=10）。

C级——拓展探究

1. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。求证：四边形BDEF是平行四边形，并证明△DEF的周长是△ABC周长的一半。
2. 思考题： 如果连接平行四边形各边中点，得到的新四边形是什么图形？请写出证明过程。

六、进阶题型精讲

题型一：证明题中的辅助线构造

题目： 在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点。求证：EF∥BC且EF = ½(AD + BC)。

分析： 这是梯形中位线定理，需要通过作辅助线来证明。

证明： 方法一（平行线构造法）： 1. 连接AF并延长，交BC的延长线于点G。 2. ∵ AD∥BC 3. ∴ ∠DAF = ∠CGF（内错角相等） 4. 又∵ DF = FC，∠DFA = ∠CFG（对顶角相等） 5. ∴ △ADF ≌ △GCF（ASA） 6. ∴ AF = FG，AD = CG 7. 在△ABG中，E是AB中点，F是AG中点 8. ∴ EF是△ABG的中位线 9. ∴ EF∥BC且EF = ½BG = ½(BC + CG) = ½(AD + BC)

题型二：动点问题中的平行四边形

题目： 在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10。点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度运动，点Q从点C出发沿CA方向以每秒1个单位的速度运动。设运动时间为t秒（0 < t < 6）。当t为何值时，以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？

解析： 该题需要分类讨论。以P、Q、B、C为顶点的四边形，可能有两种情况： 1. PC和QB为对边 2. PB和QC为对边

每种情况下，利用平行四边形的判定条件（对边平行且相等）列方程求解。

题型三：折叠问题

题目： 如图，将▱ABCD的边BC沿对角线BD折叠，使点C落在AD边上的点C'处。求证：BC'² = BD · BC。

分析： 折叠问题利用"折叠前后对应线段相等、对应角相等"的性质，结合平行四边形性质进行证明。

七、常见错误与易错点分析

八、经典例题汇编

例题4：多结论判断题

如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE=2ED，连接BE交AC于点F，已知AC=12，则AF的长为______。

解： 1. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 2. ∴ AD∥BC，AD=BC 3. 设ED=x，则AE=2x，AD=3x 4. 过F作FG∥BC交AB于点G 5. 利用平行线分线段成比例定理 6. 可求得AF = 2AC / 5 = 24/5 = 4.8

例题5：四边形综合题

已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF。 （1）求证：△BED≌△CFD （2）当∠A=90°时，判断四边形AEDF的形状，并证明。

解： （1）证明： - ∵ BD=CD（D是BC中点），BE=CF（已知） - 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC - ∴ ∠BED=∠CFD=90° - ∴ Rt△BED≌Rt△CFD（HL）

（2）当∠A=90°时，四边形AEDF是矩形。 - ∵ ∠AED=∠AFD=90°（垂直的定义） - ∠A=90°（已知） - ∴ ∠AED=∠AFD=∠A=90° - ∴ 四边形AEDF是矩形（有三个直角的四边形是矩形）

九、趣味练习

十、参考答案与提示

基础巩固

1. 周长为2×(6+4)=20
2. 60°、120°、120°（邻角互补，对角相等）

能力提升

1. 连接AC，在▱ABCD中，AO=CO。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以OE=OF，故AECF是平行四边形。
2. AO=8，BO=6，AB=10，所以△AOB的周长为8+6+10=24。

拓展探究

1. 利用三角形中位线定理：DE∥AB且DE=½AB=FB，DF∥AC，所以BFDE是平行四边形。 △DEF的周长=½(AB+BC+AC)=½△ABC的周长。
2. 连接原平行四边形的对角线，利用中位线定理可证中点四边形也是平行四边形。特别地，如果原四边形是矩形，中点四边形是菱形；原四边形是菱形，中点四边形是矩形。

十一、面积法与方程思想在平行四边形中的应用

1. 平行四边形面积公式

平行四边形的面积 = 底 × 高

注意： - "高"是从底边到对边的垂直距离，不是斜边的长度 - 同一平行四边形可以选择不同的底和高计算面积，结果相同

公式推导： 沿一条对角线可以将平行四边形分成两个全等的三角形，因此： S▱ = 2 × S△ = 2 × (½ × 底 × 高) = 底 × 高

2. 面积法解题示例

例题6： 如图，▱ABCD的周长为36cm，AB:BC=1:2，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE=4cm，求▱ABCD的面积和DF的长。

解： (1) 设AB=x，则BC=2x 周长 = 2(AB+BC) = 2(x+2x) = 6x = 36 ∴ x = 6，即AB=6，BC=12

(2) S▱ABCD = AB × DE = 6 × 4 = 24(cm²)

(3) 又因为S▱ABCD = BC × DF ∴ 24 = 12 × DF ∴ DF = 2(cm)

答案： 面积为24cm²，DF=2cm。

3. 方程思想的妙用

在几何题中，当已知条件和未知量之间有关系式但无法直接求解时，设未知数列方程是最有效的方法。

常见设未知数的方式： 1. 直接设所求的量为x 2. 设一份的量为x（比例如AB:BC=3:4时） 3. 设辅助元，解出后代入求值

十二、几何变换中的平行四边形

1. 平移变换

平行四边形可以看作是由一个三角形经过平移得到的。平行四边形的平移性质： - 平移前后对应线段平行且相等 - 平移前后对应角相等 - 平移前后图形全等

2. 旋转变换

平行四边形是中心对称图形，绕对角线交点旋转180°后与自身重合。

应用： 利用中心对称性质，可以快速解决某些证明题。例如，在▱ABCD中，任意一条过对角线交点的直线，都将平行四边形分成面积相等的两部分。

3. 翻折（轴对称）变换

翻折问题中涉及平行四边形时，关键把握： - 翻折前后对应点连线被折痕垂直平分 - 折痕上的点到翻折前后对应点的距离相等 - 翻折前后图形全等

十三、综合能力训练

训练一：基础证明（每题8分）

1. 已知：如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠BCD的平分线交AB于点F。求证：四边形BECF是平行四边形。

思路提示： 利用角平分线性质证明BE∥CF。

1. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF。求证：四边形AECF是平行四边形。

思路提示： 连接AC交BD于点O，利用对角线互相平分证明。

训练二：综合计算（每题10分）

1. 如图，在▱ABCD中，∠A=120°，AB=6cm，AD=8cm，求▱ABCD的两条对角线的长度。

提示： 过点D作AB边上的高，先求高，再用勾股定理。

1. 如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，且AE平分∠BAD，若AB=5，AD=8，求CE的长。

提示： 角平分线+平行线→等腰三角形。

训练三：开放探究（每题12分）

1. 在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)、B(4,3)、C(5,0)，是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有可能的点D坐标。

提示： 分三类讨论——AB为对角线、BC为对角线、AC为对角线。利用中点坐标公式求解。

十四、思维导图

                   ┌───────────────┐
                   │   平行四边形   │
                   └───────┬───────┘
                           │
           ┌───────────────┼───────────────┐
           │               │               │
       ┌───┴───┐       ┌───┴───┐       ┌───┴───┐
       │  性质  │       │ 判定  │       │ 中位线 │
       └───┬───┘       └───┬───┘       └───┬───┘
           │               │               │
   ┌───────┼───────┐   ┌───┼───┐       ┌───┼───┐
   对边    对角   对角线  边  角  对角线  定义  定理
   平行    相等   互相     │   │   │
   且相等          平分   │   │   │
                         ┌─┴─┐ │ ┌─┴─┐
                         两组  一组  两组  对角线
                         对边   对边   对角   互相
                         平行   平行   相等   平分
                               且相等

十五、易错真题汇编

【2022年某地中考改编】

题目：如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF、CE。 求证：四边形AECF是平行四边形。

证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AB=CD ∴ ∠ABE = ∠CDF（两直线平行，内错角相等） ∵ AE⊥BD，CF⊥BD ∴ ∠AEB = ∠CFD = 90° ∴ △ABE ≌ △CDF（AAS） ∴ AE = CF，BE = DF 又∵ ∠AEF = ∠CFE = 90° ∴ AE∥CF（内错角相等，两直线平行） ∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等）

【易错警示】 证明平行四边形时，常见错误是直接使用"两组对边平行"或"两组对边相等"，而忽略了需要证明的条件是否充分。建议按照证明条件的充分性选择最简洁的判定方法。

十六、自我检测