等腰三角形的性质与判定——从定义到综合应用

一、知识要点

1. 等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

2. 等腰三角形的性质定理

性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角） - 数学语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称：三线合一） - 数学语言：在△ABC中，AB=AC，若AD⊥BC，则BD=CD，AD平分∠BAC。

3. 等腰三角形的判定定理

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称：等角对等边） - 数学语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。

4. 等边三角形（正三角形）

定义：三条边都相等的三角形
性质：三个内角都相等，每个角都是60°
判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

二、经典例题

例题1：在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠B和∠C的度数。

解：∵ AB=AC（已知） ∴ ∠B=∠C（等边对等角）又∵ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） ∴ 80°+2∠B=180° ∴ ∠B=50°，∠C=50°

例题2：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，求证：AD⊥BC。

证明：∵ AB=AC，D为BC中点 ∴ BD=CD 在△ABD和△ACD中： AB=AC（已知） BD=CD（中点的定义） AD=AD（公共边） ∴ △ABD≌△ACD（SSS） ∴ ∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）又∵ ∠ADB+∠ADC=180°（邻补角定义） ∴ ∠ADB=90° ∴ AD⊥BC

三、易错点提醒

混淆腰和底：已知等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm时，要分长为4cm的边是腰还是底两种情况讨论。
忽略分类讨论：等腰三角形中已知一个角求另两个角时，需分已知角是顶角还是底角讨论。
"三线合一"使用条件：必须是等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高三线才重合。

四、课后练习

在△ABC中，AB=AC，AC边上的高BD=6cm，∠CBD=20°，求∠A的度数。