一、整式乘法回顾
整式乘法是八年级上册的重点内容，也是后续学习分式、一元二次方程的基础。三个基本运算法则必须熟练： 1. 单项式乘单项式：系数相乘，相同字母的指数相加。例如 2a²b × 3ab² = 6a³b³。 2. 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc。 3. 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
二、平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 记忆口诀：两个括号都一样，一加一减莫慌张；符号不同找平方，相同项在前方。 使用平方差公式的关键是"找相同项"和"找相反项"： 例1：计算 (3x+2y)(3x-2y)。相同项是 3x，相反项是 2y 与 -2y，所以原式 = (3x)²-(2y)² = 9x²-4y²。 例2：计算 102×98。把 102 写成 100+2，98 写成 100-2，则 102×98 = (100+2)(100-2) = 100²-2² = 10000-4 = 9996。 例3：计算 (-2a+3b)(2a+3b)。先调整顺序：(-2a+3b)(2a+3b) = (3b-2a)(3b+2a) = (3b)²-(2a)² = 9b²-4a²。
三、完全平方公式
完全平方公式：(a+b)² = a²+2ab+b²，(a-b)² = a²-2ab+b²。两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加上（减去）它们积的2倍。 记忆口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央；符号跟着尾巴走，中间符号看减加。 例4：计算 (2x+5)²。首项 2x，尾项 5，则原式 = (2x)²+2×(2x)×5+5² = 4x²+20x+25。 例5：计算 (3a-4b)²。原式 = (3a)²-2×(3a)×(4b)+(4b)² = 9a²-24ab+16b²。 例6：简便计算 99² = (100-1)² = 100²-2×100×1+1² = 10000-200+1 = 9801。
四、公式的灵活变形
中考中常常考查公式的逆用与变形： 1. 逆用：(a²-b²)=(a+b)(a-b)，a²±2ab+b²=(a±b)²。 2. 变形：由 (a+b)²=a²+2ab+b² 可得 a²+b²=(a+b)²-2ab；由 (a-b)²=a²-2ab+b² 可得 a²+b²=(a-b)²+2ab；(a+b)²-(a-b)²=4ab。 例7：已知 a+b=5，ab=6，求 a²+b²。解：a²+b²=(a+b)²-2ab=5²-2×6=25-12=13。 例8：已知 x²+y²=10，xy=3，求 (x-y)²。解：(x-y)²=x²+y²-2xy=10-2×3=4。
五、因式分解
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算。常用方法有两种： 1. 提公因式法：ma+mb+mc = m(a+b+c)。公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。 例9：分解 6a³b-9a²b² = 3a²b(2a-3b)。 2. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式分解。 例10：分解 x²-16 = (x+4)(x-4)。 例11：分解 x²+6x+9 = (x+3)²。 例12：分解 2x²-8 = 2(x²-4) = 2(x+2)(x-2)。注意：能提公因式的要先提公因式，再看能否继续分解。
六、易错提醒
- 平方差公式中"相同项"与"相反项"找错，如把 (x+2)(x-2) 写成 x²+2² 是错的，应为 x²-4。
- 完全平方公式漏掉中间项 2ab，如把 (a+b)² 写成 a²+b²，这是最常见的错误。
- 因式分解不彻底，如把 x⁴-1 分解为 (x²-1)(x²+1) 后没有继续分解 (x²-1)=(x+1)(x-1)，完整结果应为 (x+1)(x-1)(x²+1)。
七、练习巩固
基础题：计算 (1)(5x+3)(5x-3)；(2)(a+7)²；(3) 分解 x²-25。 提高题：计算 (2m+n-3)(2m-n+3)；分解 4a³b-16ab³。 挑战题：已知 x+y=7，xy=10，求 x²+y² 和 (x-y)² 的值。
参考答案：(基础) 25x²-9；a²+14a+49；(x+5)(x-5)。(提高) 把 n-3 看作整体：原式=(2m)²-(n-3)²=4m²-(n²-6n+9)=4m²-n²+6n-9；原式=4ab(a²-4b²)=4ab(a+2b)(a-2b)。(挑战) x²+y²=(x+y)²-2xy=49-20=29；(x-y)²=(x+y)²-4xy=49-40=9。