同角三角函数的基本关系
一、回顾：任意角的三角函数定义
设角α的终边上一点P(x,y)，|OP| = r = √(x²+y²)，则：
| 函数 | 定义 | 记忆口诀 |
|---|---|---|
| sin α = y/r | 正弦——纵坐标比半径 | "对边比斜边" |
| cos α = x/r | 余弦——横坐标比半径 | "邻边比斜边" |
| tan α = y/x (x≠0) | 正切——纵坐标比横坐标 | "对边比邻边" |
二、同角三角函数的基本关系式
2.1 平方关系
sin²α + cos²α = 1
推导：由三角函数定义，sin²α + cos²α = (y/r)² + (x/r)² = (x²+y²)/r² = r²/r² = 1
变形： - sin²α = 1 - cos²α - cos²α = 1 - sin²α - sin α = ±√(1 - cos²α) - cos α = ±√(1 - sin²α)
⚠️ 注意：开方时正负号由角α所在的象限决定！
2.2 商数关系
tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
推导：tan α = y/x = (y/r) / (x/r) = sin α / cos α
变形： - sin α = tan α · cos α - cos α = sin α / tan α (tan α ≠ 0 时)
2.3 倒数关系（补充）
cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0)
常见特殊角的三角函数值：
| 角度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | 不存在 |
利用同角三角函数关系，可以由任一特殊角的一个三角函数值推出其余两个，例如由 sin30°=1/2 推出 cos30°=√3/2、tan30°=√3/3。
三、象限符号判定
| 象限 | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| Ⅰ | + | + | + |
| Ⅱ | + | - | - |
| Ⅲ | - | - | + |
| Ⅳ | - | + | - |
🎵 记忆口诀："一全正，二正弦，三正切，四余弦"
四、典型例题
例题1：利用平方关系求值
已知 sin α = 3/5，且α是第二象限角，求cos α和tan α的值。
解： - ∵ sin²α + cos²α = 1 - ∴ cos²α = 1 - sin²α = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25 - ∴ cos α = ±4/5 - ∵ α是第二象限角，cos α < 0 - ∴ cos α = -4/5 - tan α = sin α / cos α = (3/5) / (-4/5) = -3/4
答案：cos α = -4/5，tan α = -3/4 ✅
例题2：知一求二
已知 tan α = 2，且α是第三象限角，求sin α和cos α的值。
思路分析： - 由 tan α = sin α / cos α = 2，得 sin α = 2cos α - 代入 sin²α + cos²α = 1，得 (2cos α)² + cos²α = 1 - 即 4cos²α + cos²α = 1 → 5cos²α = 1
解： - cos²α = 1/5，cos α = ±√5/5 - ∵ α是第三象限角，cos α < 0 - ∴ cos α = -√5/5 - sin α = 2cos α = -2√5/5
答案：sin α = -2√5/5，cos α = -√5/5 ✅
例题3：化简三角函数式
化简：(1 - sin²α)(1 + tan²α)
解： - 原式 = cos²α · [1 + (sin²α / cos²α)] - = cos²α · [(cos²α + sin²α) / cos²α] - = cos²α · [1 / cos²α] - = 1
💡 技巧：遇到 1 或 1±sinα，优先联想 sin²α + cos²α = 1 进行代换。
例题4：证明三角恒等式
求证：sin⁴α - cos⁴α = sin²α - cos²α
证明： - 左边 = (sin²α)² - (cos²α)² - = (sin²α - cos²α)(sin²α + cos²α) - = (sin²α - cos²α) × 1 - = sin²α - cos²α = 右边 - ∴ 等式成立 ✅
💡 技巧：证明恒等式通常从左到右，利用平方差公式、提取公因式等方法。
例题5：综合应用——条件求值
已知 sin α + cos α = 1/5，且α在第二象限，求 sin α - cos α 的值。
分析：这类题目的关键是利用 (sin α ± cos α)² = 1 ± 2sin α cos α 这个变形。
解： - (sin α + cos α)² = (1/5)² = 1/25 - sin²α + 2sinα cosα + cos²α = 1/25 - 1 + 2sinα cosα = 1/25 - 2sinα cosα = 1/25 - 1 = -24/25 - sinα cosα = -12/25
- 再求 (sin α - cos α)² = sin²α + cos²α - 2sinα cosα = 1 - (-24/25) = 49/25
- ∴ sin α - cos α = ±7/5
- ∵ α在第二象限，sin α > 0，cos α < 0
- ∴ sin α - cos α > 0
- ∴ sin α - cos α = 7/5 ✅
💡 关键技法：通过平方关系将 sin α ± cos α 与 sin α cos α 互相转化，是高考经典题型。
五、常见题型与方法归纳
| 题型 | 方法 | 关键步骤 |
|---|---|---|
| 知一求二 | 平方关系 + 象限判断 | 先求平方，再定符号 |
| 化简表达式 | "切化弦" + 因式分解 | 将tan化为sin/cos |
| 证明恒等式 | 左→右，或右→左 | 寻找共同因式 |
| 条件求值 | 联立方程组 | 代入平方关系消元 |
| 对称式求值 | (sin±cos)²变形 | 构造完全平方 |
六、趣味练习
🎯 速算挑战（点击展开）
**题目**：已知sin α = -12/13，且α是第四象限角，口算cos α和tan α的值。 **提示**：5-12-13是勾股数，sin²α + cos²α = 1 → cos²α = 1 - 144/169 = 25/169✅ 答案
cos α = 5/13（第四象限cos > 0） tan α = sin α / cos α = (-12/13) / (5/13) = -12/5🎯 公式连连看（点击展开）
下列等式哪些恒成立？判断对错： 1. sin²α = 1 + cos²α 2. tan α = cos α / sin α 3. sin²30° + cos²30° = 1 4. (sin α + cos α)² = 1 + 2sin α cos α 5. 1 + tan²α = 1 / cos²α 6. sin⁴α - 2sin²α cos²α + cos⁴α = 1✅ 答案
1. ❌ 正确为 sin²α = 1 - cos²α 2. ❌ 正确为 tan α = sin α / cos α 3. ✅ 平方关系恒成立 4. ✅ 展开得 sin²α + 2sinα cosα + cos²α = 1 + 2sinα cosα 5. ✅ 1 + tan²α = 1 + sin²α/cos²α = (cos²α+sin²α)/cos²α = 1/cos²α 6. ❌ 原式 = (sin²α - cos²α)² = (1 - 2cos²α)²，不等于1🎯 生活中的三角（点击展开）
**问题**：一个斜坡与水平面夹角为30°，斜坡长10米，求斜坡的高度和水平投影长度。 **分析**： - 高度 h = 10 × sin30° = 10 × 1/2 = 5（米） - 水平长度 d = 10 × cos30° = 10 × √3/2 = 5√3 ≈ 8.66（米） **验证**：h² + d² = 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10²，符合勾股定理 ✅ 这与同角三角函数的基本关系 sin²30° + cos²30° = 1 完全一致——因为 (h/10)² + (d/10)² = sin²30° + cos²30° = 1。七、课后作业
📚 三级进阶练习（点击展开）
**🌟 基础级** 1. 已知 cos α = -3/5，α是第二象限角，求sin α和tan α。 2. 化简：(1 + tan²α) · sin²α 3. 已知 sin α = 1/3，求 cos²α 的值。 **🌟🌟 进阶级** 4. 已知 tan α = -√3，且 α 是第二象限角，求 sin α 和 cos α 的值。 5. 证明恒等式：(sin α + cos α)² + (sin α - cos α)² = 2 6. 已知 sin α + cos α = 1/2，求 sin α cos α 的值。 **🌟🌟🌟 挑战级** 7. 已知 sin θ + sin²θ = 1，求 cos²θ + cos⁴θ 的值。 8. 设 sin α + cos α = m，求 sin⁴α + cos⁴α（用含m的式子表示）。 9. 探究题：当α为何值时，表达式 y = sin²α + 2sin α cos α + 3cos²α 取得最值？八、高考真题链接
（2020年全国Ⅰ卷·改编） 已知 0 < α < π/2，tan α + 1/tan α = 10/3，求 sin α + cos α 的值。
📖 解题思路（点击展开）
设 t = tan α，则 t + 1/t = 10/3 两边乘以 3t：3t² + 3 = 10t → 3t² - 10t + 3 = 0 → (3t - 1)(t - 3) = 0 t = 1/3 或 t = 3 因为 0 < α < π/2，两个都成立。 分类讨论： - 若 tan α = 3，则 sin α = 3cos α，代入 sin²α + cos²α = 1 得 cos²α = 1/10 cos α = √10/10，sin α = 3√10/10，sin α + cos α = 4√10/10 = 2√10/5 - 若 tan α = 1/3，同理得 sin α + cos α = 4√10/10 = 2√10/5 答案：2√10/5 ✅九、知识拓展——公式的其他应用
了解以下两个扩展关系，可以帮助你更快地解题：
9.1 完全平方变形
(sin α ± cos α)² = 1 ± 2sin α cos α
当题目给出 sin α ± cos α 的值时，可以迅速求出 sin α cos α，反之亦然。
9.2 齐次式的处理
对于形如 (a sin²α + b sin α cos α + c cos²α) / (d sin²α + e cos²α) 的式子，可以分子分母同时除以 cos²α，转化为关于 tan α 的表达式。
示例：求 (sin²α + sin α cos α) / (2cos²α - sin²α) 的值，已知 tan α = 2
分子分母同除以 cos²α： = (tan²α + tan α) / (2 - tan²α) = (4 + 2) / (2 - 4) = 6/(-2) = -3
💡 这是一种极其高效的解题技巧，在高考三角题中经常用到。