高三数学：导数与不等式证明——构造函数、放缩与恒成立问题

高三数学：导数与不等式证明——构造函数、放缩与恒成立问题

一、考点定位

导数与不等式的综合题，是高考数学压轴题的常客，分值通常在12分左右。它把「函数单调性、极值最值」与「不等式证明、参数范围」缝在一起考，考查的核心只有一句话：

把不等式的证明，转化为函数的最值问题。

只要完成这个转化，剩下的就是求导、判号、取最值三步操作。本文按「构造函数—放缩—恒成立」三条主线，把这类题的常见模型一次性讲清。

二、主线一：构造函数证明不等式

1. 直接作差法

要证 f(x) > g(x)，令 h(x) = f(x) − g(x)，只要证明 h(x) 的最小值大于 0。

【例1】证明：当 x > 0 时，ln x ≤ x − 1。

解：令 h(x) = x − 1 − ln x（x > 0）， 则 h′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x。 当 0 < x < 1 时 h′(x) < 0，h(x) 递减； 当 x > 1 时 h′(x) > 0，h(x) 递增。 所以 h(x) 在 x = 1 处取最小值 h(1) = 0， 即 h(x) ≥ 0，故 ln x ≤ x − 1，等号当且仅当 x = 1 时成立。

这个不等式（常被称为「切线放缩」）是所有导数不等式题的母题，务必记牢。

2. 分离参数法

含参不等式恒成立问题，优先把参数分离到一边，另一边构造成函数求最值。一般规律是：

• 若 a ≥ f(x) 恒成立，则 a ≥ f(x) 的最大值；
• 若 a ≤ f(x) 恒成立，则 a ≤ f(x) 的最小值。

【例2】已知 f(x) = x·e^x，若 f(x) ≥ a 对一切 x ∈ R 恒成立，求 a 的取值范围。

解：f′(x) = e^x(1 + x)。由 f′(x) = 0 得 x = −1。 当 x < −1 时 f′(x) < 0，f(x) 递减；当 x > −1 时 f′(x) > 0，f(x) 递增。 所以 f 的最小值为 f(−1) = −1/e。 故 a ≤ −1/e。

三、主线二：切线放缩与常用不等式链

导数压轴题的第二把钥匙是「放缩」。所谓放缩，就是用一个简单的函数去夹住复杂的函数。必须熟练掌握下面这条不等式链（x > 0）：

ln x ≤ x − 1 ≤ x ≤ e^x − 1（且 e^x ≥ x + 1，ln x ≤ x/e 等变体常见）

最常用的三个放缩：

① e^x ≥ x + 1（x ∈ R），等号在 x = 0 成立； ② ln x ≤ x − 1（x > 0），等号在 x = 1 成立； ③ ln x ≤ x/e（可由①令 x → x − 1 得到），常用于证明含 ln 的数列不等式。

【例3】证明：当 x > 0 时，e^x > 1 + x + x²/2 − x³/6 不成立，而 e^x > 1 + x 恒成立。

分析：后者可直接由①得出。前者需注意 x 较大时 x³/6 会反超，说明放缩必须看区间，不能无限加项。这也是压轴题常见的「陷阱区间」。

放缩的三条纪律： 第一，方向要对——放缩后不等式方向不能改变； 第二，幅度要小——放得太大，结论会变成假命题，或与下一问冲突； 第三，等号要能取到——如果题目要求等号成立条件，放缩点必须与原函数相切或相交。

四、主线三：恒成立问题的两大转化

转化一：转化为最值。 对一切 x ∈ D，f(x) ≥ 0 ⟺ f(x) 在 D 上的最小值 ≥ 0。 转化二：转化为「两函数位置关系」。 若 f(x) ≥ g(x)，可看作 y = f(x) 的图象始终不在 y = g(x) 图象下方，切线正是连接二者的桥梁。

【例4】已知函数 f(x) = a·ln x + x²/2 − x（a > 0）。若 f(x) 在定义域内单调递增，求 a 的取值范围。

解：f′(x) = a/x + x − 1 ≥ 0 对 x > 0 恒成立。 两边同乘 x（x > 0，不等号方向不变）：a + x² − x ≥ 0，即 a ≥ −x² + x 对 x > 0 恒成立。 而 −x² + x = −(x − 1/2)² + 1/4 ≤ 1/4，故 a ≥ 1/4。 又 a > 0，所以 a ∈ [1/4, +∞)。

注意「单调递增」在导数语言中是 f′(x) ≥ 0 恒成立（且等号只在孤立点成立），不少同学写成 f′(x) > 0，导致漏掉端点值，是典型的扣分点。

五、方法对比表

六、课后练习

基础题：证明当 x > 0 时，e^x ≥ 1 + x + x²/2 不成立，但 e^x ≥ 1 + x 成立（用导数说明）。 提高题：已知 f(x) = x − ln x，证明对任意 x > 0，f(x) ≥ 1 成立。 挑战题：设 f(x) = e^x − a·x − 1，若 f(x) ≥ 0 对一切 x ∈ R 恒成立，求 a 的值，并说明此时等号成立的条件。

参考答案要点： 基础题：令 h(x) = e^x − 1 − x，h′(x) = e^x − 1，在 x = 0 处取最小值 0，故 e^x ≥ 1 + x；对 e^x − 1 − x − x²/2 求导，最小值在 x = 0 处为 0，但二阶导在 x = 0 处为 0、三阶导为 1，可验证在 x 较大时该式取负值，例如 x = 3 时 e³ ≈ 20.09 < 1 + 3 + 4.5 = 8.5 不成立——正确判断是取 x = 2 时 e² ≈ 7.39 > 7，需结合区间讨论，核心结论是「放缩项数越多，适用区间越小」。 提高题：f′(x) = 1 − 1/x，x = 1 时取最小值 f(1) = 1，故 f(x) ≥ 1。 挑战题：f′(x) = e^x − a。当 a ≤ 0 时 f(x) 单调递增且 x → −∞ 时 f(x) → −∞，不合题意；当 a > 0 时最小值 f(ln a) = a − a·ln a − 1 ≥ 0，令 g(a) = a − a·ln a − 1，g′(a) = −ln a，在 a = 1 处取最大值 g(1) = 0，故 a = 1，此时等号当且仅当 x = 0 时成立。

七、方法小结

导数不等式题的解题路线图是：先看能不能分离参数，再看能不能作差构造函数，两者都不行就上切线放缩。所有技巧都建立在那条母不等式 ln x ≤ x − 1 ≤ x ≤ e^x − 1 之上。把这条链背熟、把等号成立条件写清、把「恒成立⟺最值」的转化用顺，压轴题的前两问就是稳定得分点。