一、反比例函数的定义
一般地，形如 y = k/x（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
判断一个函数是不是反比例函数，关键是看它能否化为 y = k/x 的形式。常见的变形还有：y = k·x⁻¹（即 y = k 乘以 x 的负一次方），以及 xy = k。
二、反比例函数的图像与性质
反比例函数 y = k/x（k≠0）的图像是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限内。双曲线无限接近坐标轴，但永远不与x轴、y轴相交（因为x≠0，y≠0）。
性质总结（按k的正负分两类）：
| k的取值 | 图像位置 | 增减性 |
|---|---|---|
| k＞0 | 第一、三象限 | 在每个象限内，y随x的增大而减小 |
| k＜0 | 第二、四象限 | 在每个象限内，y随x的增大而增大 |
特别注意：反比例函数的增减性必须强调"在每个象限内"。因为双曲线是断开的，不能说"在整个定义域内y随x增大而减小"。比如k＞0时，第一象限的点永远比第三象限的点对应的y值大，这与"减小"的表述并不矛盾，但不能跨象限比较。
反比例函数图像还有两个重要特征：中心对称（关于原点对称）和轴对称（关于直线 y=x 和 y=-x 对称）。
三、典型例题精讲
例题1：已知反比例函数图像经过点A(2, 6)，求函数解析式。
解析：设解析式为 y = k/x。把点A的坐标代入，得 6 = k/2，解得 k = 12。所以函数解析式为 y = 12/x。这种求解析式的方法叫待定系数法，是中考必考的基本方法。
例题2：反比例函数 y = 6/x 与一次函数 y = x + 1 的图像交于A、B两点，求交点坐标。
解析：联立方程组：
y = 6/x 且 y = x + 1
所以 x + 1 = 6/x，去分母得 x² + x − 6 = 0，因式分解得 (x + 3)(x − 2) = 0，解得 x₁ = 2，x₂ = −3。
当x = 2时，y = 3；当x = −3时，y = −2。
所以交点坐标为 A(2, 3) 和 B(−3, −2)。
例题3（面积问题）：如图，反比例函数 y = 4/x 的图像上有一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，求矩形PAOB的面积。
解析：设P点坐标为(x, y)，则 PA = |y|，PB = |x|。矩形面积 S = |x|·|y| = |xy|。因为P在反比例函数图像上，所以 xy = 4，故 S = 4。
重要结论：反比例函数 y = k/x 图像上任意一点向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积恒等于 |k|。这是中考填空、选择的高频考点。
四、实际应用——反比例建模
例题4：某工程队要完成一项2400立方米的土方任务，每天完成x立方米，需要y天完成。（1）求y与x的函数关系式；（2）若每天完成200立方米，需要多少天？
解析：（1）由"每天完成的量×天数=总量"，得 xy = 2400，即 y = 2400/x，这是反比例函数。（2）当x = 200时，y = 2400 ÷ 200 = 12，需要12天完成。
这类"乘积为定值"的实际问题（如速度×时间=路程、单价×数量=总价、效率×时间=工作量）都可以用反比例函数来建模。
五、易错点提醒
- k≠0不能忘：反比例函数中k必须不为0，否则不是反比例函数。
- 图像不与坐标轴相交：画图时双曲线要"贴"着坐标轴画，但不能画到轴上。
- 增减性要加"在每个象限内"：这是中考判分的关键字眼。
- 求面积时取绝对值：k为负数时，|k|才是面积。
六、巩固练习
练习1：已知反比例函数 y = k/x 的图像经过点(−2, 5)，求k的值并判断图像所在象限。
练习2：反比例函数 y = 3/x，当x = −3时，求y的值；当x＞0时，y随x的增大如何变化？
练习3：反比例函数 y = 8/x 图像上一点P，PA⊥x轴于点A，求△POA的面积（O为原点）。
参考答案：练习1：k = −10，图像在第二、四象限。练习2：y = −1；当x＞0时，y随x的增大而减小。练习3：△POA面积 = |k| ÷ 2 = 4。