一、今天要学的知识点
线段与角是初中几何的两块地基。它们的计算题看着简单，但失分往往不在公式，而在讨论不全和格式不规范。
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线段的两个基本量 （1）线段的和差：如图，点 C 在线段 AB 上，则 AC + CB = AB，AC = AB − CB。 （2）中点：若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM = MB = ½AB，且 AB = 2AM。 常用变形：AM = ½AB；AB = 2MB；AM + MB = AB 恒成立。 （3）两点间的距离：连接两点的线段的长度，是「长度」而不是「线段」本身。
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角的基本量 （1）角的度量单位：1° = 60′，1′ = 60″（六十进制）。 （2）角平分线：若 OC 平分 ∠AOB，则 ∠AOC = ∠COB = ½∠AOB。 （3）互余与互补：两角和为 90° 互余；两角和为 180° 互补。同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。
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计算题的通用步骤 第一步：画图。把题中所有点、线、角标在图上。 第二步：设未知数。把最小的那个量设为 x，其余量用 x 表示。 第三步：列等式。用「和差关系」或「平分关系」建立方程。 第四步：求解并检验。特别是分类讨论的题，检验每种情况是否成立（点是否真的在要求的范围内）。
二、三种必考模型
模型一：双中点模型 点 M、N 分别是线段 AB、BC 的中点，则 MN = ½AC（无论 C 在哪一侧，只要 A、B、C 确定顺序）。 推导：MN = MB + BN = ½AB + ½BC = ½(AB + BC) = ½AC。 记忆：两个中点之间的距离，等于「两端点距离」的一半。
模型二：等分点连线 若点 C 是 AB 的三等分点、点 D 是 BC 的中点，则 AC = ⅓AB，CD = ½BC = ⅓AB，于是 AD = AC + CD = ⅔AB。 方法仍是「把 AB 看作 1 份，全部用份数表示」。
模型三：角平分线与角的差 若 OC 平分 ∠AOB，OD 平分 ∠AOC，则 ∠AOD = ¼∠AOB。 先由 OC 平分得 ∠AOC = ½∠AOB，再由 OD 平分得 ∠AOD = ½∠AOC = ¼∠AOB。
三、例题解析
例题1 已知线段 AB = 12 cm，点 C 在直线 AB 上，且 BC = 4 cm，点 M 是 AC 的中点，求 AM 的长。 解：题目说「点 C 在直线 AB 上」，不是「线段 AB 上」，所以要分类讨论。 ① 当点 C 在线段 AB 上时：AC = AB − BC = 12 − 4 = 8（cm）， AM = ½AC = ½ × 8 = 4（cm）。 ② 当点 C 在线段 AB 的延长线上（B 在 A、C 之间）时：AC = AB + BC = 12 + 4 = 16（cm）， AM = ½AC = ½ × 16 = 8（cm）。 答：AM 的长为 4 cm 或 8 cm。 方法提炼：看到「直线」「射线」就要想两种位置；看到「线段」且点在之间，就只有一种情况。
例题2 一个角的补角比它的余角的 2 倍大 30°，求这个角的度数。 解：设这个角为 x°，则它的补角为 (180 − x)°，余角为 (90 − x)°。 列方程：180 − x = 2(90 − x) + 30， 去括号：180 − x = 180 − 2x + 30， 移项合并：180 − x = 210 − 2x， 两边加 2x：180 + x = 210， 解得：x = 30。 检验：30° 的补角是 150°，余角是 60°，2 × 60 + 30 = 150，符合题意。 答：这个角是 30°。
例题3 已知 ∠AOB = 90°，OC 在 ∠AOB 内部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC，求 ∠DOE。 解：因为 OD 平分 ∠AOC，所以 ∠DOC = ½∠AOC； 因为 OE 平分 ∠BOC，所以 ∠COE = ½∠BOC； 又 OC 在 ∠AOB 内部，所以 ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 90°。 于是 ∠DOE = ∠DOC + ∠COE = ½∠AOC + ½∠BOC = ½(∠AOC + ∠BOC) = ½ × 90° = 45°。 结论推广：只要 OC 在 ∠AOB 内，∠DOE 恒等于 ½∠AOB，与 OC 的位置无关。 这类「与位置无关」的结论，是初中几何最漂亮的题型之一。
例题4 计算：（1）32°45′36″ + 47°24′24″ （2）90° − 57°38′45″ 解：（1）秒加秒、分加分、度加度： 36″ + 24″ = 60″ = 1′，所以分变为 45′ + 24′ + 1′ = 70′ = 1°10′，度变为 32° + 47° + 1° = 80°。 结果：80°10′。 （2）先借位：90° = 89°59′60″， 89°59′60″ − 57°38′45″ = 32°21′15″。 要点：六十进制，逢六十进一，不够减要向上一级借 1 当 60。
四、对比表格
| 类型 | 关键关系 | 常用变形 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 线段和差 | AC + CB = AB | AC = AB − CB | 忽略点的位置 |
| 中点 | AM = MB = ½AB | AB = 2AM | 把中点写成「一半的线段」 |
| 双中点 | MN = ½AC | 与 B 无关 | 顺序判断错误 |
| 角平分线 | ∠AOC = ½∠AOB | 两半相等 | 未说明「在内部」 |
| 度分秒 | 1° = 60′，1′ = 60″ | 借位 1° = 59′60″ | 按十进制算 |
五、易错点提醒 1. 「点 C 在直线 AB 上」必须讨论 C 在线段内、线段外两种情况；「点 C 在线段 AB 上」只有一种。 2. 度分秒是六十进制，18°30′ 不是 18.3°，而是 18.5°。 3. 角平分线结论只在 OC 位于角内部时成立，若在外部结论变成 ½(∠AOC − ∠BOC) 等形式，仍要用和差关系重新推导。 4. 解题步骤要写清依据：「因为 M 是 AB 的中点，所以 AM = ½AB（线段中点的定义）」，不写依据会被扣分。
六、趣味练习（先做再看答案） 1. 已知 AB = 20 cm，点 C 是 AB 的中点，点 D 在 CB 上，且 CD = 3 cm，求 BD。 2. 一个角是它余角的 4 倍，求这个角及它的补角。 3. 计算：18°25′ × 4。
答案： 1. CB = ½AB = 10 cm，BD = CB − CD = 10 − 3 = 7（cm）。 2. 设这个角为 x，则 x = 4(90 − x)，解得 x = 72°，补角为 180 − 72 = 108°。 3. 25′ × 4 = 100′ = 1°40′，18° × 4 = 72°，共 73°40′。
七、课后作业 基础题：教材线段中点练习题 2 题，要求画出图形并写出每一步依据。 提高题：已知 ∠AOB = 120°，OC 平分 ∠AOB，OD 在 ∠BOC 内部且 ∠BOD = 20°，求 ∠AOD，并说明理由。 挑战题：点 M、N 分别是线段 AB、BC 的中点，若 MN = 5 cm，AB = 8 cm，求 BC 的长（注意 C 的位置可能不同，写出讨论过程）。